Problemas De Ecuaciones Diferenciales

Una bola de nieve se derrite de forma que la razón de cambio de su volumen es proporcional al área de su superficie. Si el diámetro inicial de la bola es de 4 pulgadas y al cabo de 30 min. Es de 3pulgadas, ¿cuándo será de 2 pulgadas? ¿Cuándo desaparecerá la bola de nieve? Si suponemos que la bola se derrite tal que la razón de cambio de su diámetro es proporcional al área de su superficie, conlos minutos dados, ¿Cuándo será su diámetro de 2 pulgadas? En términos matemáticos ¿Cuándo desaparecerá la bola de nieve?
Análisis:
d=4pulg, t=0
d=3pulg, t=30min
d=2pulg, t=?
d=0pulg, t=?En el análisis del problema se identifica que una bola de nieve se derrite de forma, que la razón de cambio de su volumen es proporcional al área de su superficie
dvdt=A

Por lo tanto el área de unaesfera es =4πr2

Para resolver la ecuación diferencial que resulta se le añade una constante k
1)

dvdt=k.4πr2

Como los datos que se obtienen están en términos del diámetro de la esfera y noen el radio se cambia la fórmula del área en términos del diámetro de la esfera como:
2)
ddt(πd36)=k.4π(d2)2

Nota* el volumen de una esfera (bola de nieve) es =43πr3
v=43π(d2)3 ∴ v=43π(d38)∴ v=π(d36)
Simplificando la ecuación 2) el 4 que multiplica al π se elimina con el dividendo que esta al cuadrado.
3)

ddt(πd36)=k.π(d)2

Despejando v=π(d36) de la ecuación diferencial 3) paradejar diámetro =D con respecto al tiempo se obtiene:ddtD3=kπd2(6π) se simplifica eliminando el π

∴ Obtenemos la ecuación diferencial 4) ddtD3=6kD2para dejar una sola variable D la pasamosdividiendo D2 entre D2 y nos queda 5) ddtD=6k .
La ecuación diferencial 5) ddtD=6k podemos resolverla mediante el método de variables separables.
En la ecuación 5) pasamos del otro lado de la igualdad ladiferencial del tiempo (dt) e integrando en ambos lados nos queda:
6)
D=6kt+c
Sustituyendo el diámetro de la esfera (bola de nieve) que es igual a 4 pulgadas cuando el tiempo es igual a 0 en...