Problemas De Electromagnetismo
Páginas: 26 (6400 palabras)
Publicado: 14 de febrero de 2013
PROBLEMAS
DE
ELECTROESTÁTICA
III Campo electrostático en los conductores
Prof. J. Martín
2
3
CONDUCTORES CARGADOS EN EL VACI O
Pr o bl e m 1 Calcular : a) la capacidad de una superficie esférica de radio R ; b) la capacidad por
a
unidad de longitud de una superficie cilíndrica de longitud infinita y radio R .
R
R
a)
b)
SOLUCION
La densidad superficial decarga sobre la superficie esférica es constante. La relación entre la
a)
carga y el potencial de un conductor mide la capacidad del conductor.
C=
Q
V
El conductor cargado se comporta como una distribución superficial esférica de carga. El potencial
en la superficie está dado por
V=
1Q
4 0 R
C = 4 0 R
⇒
b ) La densidad superficial de carga sobre la superficiecilíndrica es constante. La relación entre la
carga y el potencial de un conductor mide la capacidad del conductor.
C=
Q
V
Seleccionando un trozo de cilindro de longitud h, el campo eléctrico a una distancia del eje r > R
está dado por
E=
1 Rσ
0 r
⇒
Ψ=
Rσ
1
ln
0
r
4
El potencial en la superficie está dado por
V=
Rσ
1
ln
0
R
⇒
V=2 h Rσ
Q
1
1
ln =
ln
2 h 0
2 h 0
R
R
Opernado se tiene
2 0
C
=
h
ln (1 / R )
Pr o bl e m 2
a
Determinar la capacidad de una superficie conductora de forma circular de radio R .
R
S OLUCI ON
Suministremos a la superficie cierta cantidad de carga Q. La densidad superficial de carga es
σ=
Q
R2
El campo eléctrico en lospuntos del eje del disco es
E ( z) =
σ
1 −
2ε0
y el potencial
Ψ ( z) =
σ
2ε0
[z
z2 + R2
z
2
+ R2 − z
]
El potencial de la superficie se obtiene haciendo z = 0 en la ecuación del potencial, V =
σR
.
2ε0
5
Sustituyendo σ y operando se obtiene la capacidad
C = 2 0 R
Una esfera conductora de radio R está conectada al potencial V0 .Otra esfera
conductora de radio R ′ descargada, se encuentra a una gran distancia de la primera ( no se ejercen influencia ).
Con un hilo conductor muy delgado ( capacidad despreciable ) se unen ambas esferas. Calcular : a) la capacidad
del conjunto ; b) el potencial común de ambas esferas ; c) la carga que adquiere la esfera de radio R ′.
Pr o bl e m 3
a
S OLUCI ON
Carga de la esfera deradio R
a)
⇒
Q0 = 4 0 R V0
La capacidad es una cantidad aditiva. La capacidad del conjunto es
b ) La carga se reparte entre las dos esferas ; el potencial común es V =
C = 4 0 (R + R′ )
Q0
1
=
V0
C 1 + R ′ R
R′
V0
1 + R ′ R
c ) La carga que adquiere la segunda esfera es Q ′ = C ′ V = 4 π 0
Pr o bl e m 4 Dos esferas conductoras deradio R se tocan en un punto. El conjunto se conectada a
a
un potencial V. La densidad superficial de carga sobre la superficie de ambas esferas está dada por
σ = σ 0 cos 2 siendo θ el ángulo indicado en la figura adjunta. Determinar la capacidad de la
superficie del conjunto
O′ °
R
R
θ
°
O
S OLUCI ON
La capacidad es una cantidad aditiva. La capacidad total será el doble dela capacidad de una de las
dos esferas. Sea A el punto de contacto de las dos esferas.
6
σ
r
°
A
R
θ
r′
°
O
R
El potencial en A debido a la carga contenida en el área diferencial dSθ situada a la distancia r de A,
está dado por
1 dq
4 0 r
dV =
De la figura se tiene que r′ = R sen 2 θ y dSθ = ( 2 R d θ ) 2 π r′ ; efectuando el producto σ dSθ seobtiene la carga d q . La distancia de la carga al punto A es r = 2 R cos θ. Sustituyendo e
integrando queda el potencial del conjunto
Rσ 0
2 0
∫ sen 2 cos
d
¡
V=
2
⇒
V=
0
2 Rσ 0
3 0
La carga del conjunto es el doble de la carga de una de las esferas.
¢
∫d q
¤
£
¡
Q=2
= 4 R2 σ 0
0
La capacidad del conjunto se obtiene del...
DE
ELECTROESTÁTICA
III Campo electrostático en los conductores
Prof. J. Martín
2
3
CONDUCTORES CARGADOS EN EL VACI O
Pr o bl e m 1 Calcular : a) la capacidad de una superficie esférica de radio R ; b) la capacidad por
a
unidad de longitud de una superficie cilíndrica de longitud infinita y radio R .
R
R
a)
b)
SOLUCION
La densidad superficial decarga sobre la superficie esférica es constante. La relación entre la
a)
carga y el potencial de un conductor mide la capacidad del conductor.
C=
Q
V
El conductor cargado se comporta como una distribución superficial esférica de carga. El potencial
en la superficie está dado por
V=
1Q
4 0 R
C = 4 0 R
⇒
b ) La densidad superficial de carga sobre la superficiecilíndrica es constante. La relación entre la
carga y el potencial de un conductor mide la capacidad del conductor.
C=
Q
V
Seleccionando un trozo de cilindro de longitud h, el campo eléctrico a una distancia del eje r > R
está dado por
E=
1 Rσ
0 r
⇒
Ψ=
Rσ
1
ln
0
r
4
El potencial en la superficie está dado por
V=
Rσ
1
ln
0
R
⇒
V=2 h Rσ
Q
1
1
ln =
ln
2 h 0
2 h 0
R
R
Opernado se tiene
2 0
C
=
h
ln (1 / R )
Pr o bl e m 2
a
Determinar la capacidad de una superficie conductora de forma circular de radio R .
R
S OLUCI ON
Suministremos a la superficie cierta cantidad de carga Q. La densidad superficial de carga es
σ=
Q
R2
El campo eléctrico en lospuntos del eje del disco es
E ( z) =
σ
1 −
2ε0
y el potencial
Ψ ( z) =
σ
2ε0
[z
z2 + R2
z
2
+ R2 − z
]
El potencial de la superficie se obtiene haciendo z = 0 en la ecuación del potencial, V =
σR
.
2ε0
5
Sustituyendo σ y operando se obtiene la capacidad
C = 2 0 R
Una esfera conductora de radio R está conectada al potencial V0 .Otra esfera
conductora de radio R ′ descargada, se encuentra a una gran distancia de la primera ( no se ejercen influencia ).
Con un hilo conductor muy delgado ( capacidad despreciable ) se unen ambas esferas. Calcular : a) la capacidad
del conjunto ; b) el potencial común de ambas esferas ; c) la carga que adquiere la esfera de radio R ′.
Pr o bl e m 3
a
S OLUCI ON
Carga de la esfera deradio R
a)
⇒
Q0 = 4 0 R V0
La capacidad es una cantidad aditiva. La capacidad del conjunto es
b ) La carga se reparte entre las dos esferas ; el potencial común es V =
C = 4 0 (R + R′ )
Q0
1
=
V0
C 1 + R ′ R
R′
V0
1 + R ′ R
c ) La carga que adquiere la segunda esfera es Q ′ = C ′ V = 4 π 0
Pr o bl e m 4 Dos esferas conductoras deradio R se tocan en un punto. El conjunto se conectada a
a
un potencial V. La densidad superficial de carga sobre la superficie de ambas esferas está dada por
σ = σ 0 cos 2 siendo θ el ángulo indicado en la figura adjunta. Determinar la capacidad de la
superficie del conjunto
O′ °
R
R
θ
°
O
S OLUCI ON
La capacidad es una cantidad aditiva. La capacidad total será el doble dela capacidad de una de las
dos esferas. Sea A el punto de contacto de las dos esferas.
6
σ
r
°
A
R
θ
r′
°
O
R
El potencial en A debido a la carga contenida en el área diferencial dSθ situada a la distancia r de A,
está dado por
1 dq
4 0 r
dV =
De la figura se tiene que r′ = R sen 2 θ y dSθ = ( 2 R d θ ) 2 π r′ ; efectuando el producto σ dSθ seobtiene la carga d q . La distancia de la carga al punto A es r = 2 R cos θ. Sustituyendo e
integrando queda el potencial del conjunto
Rσ 0
2 0
∫ sen 2 cos
d
¡
V=
2
⇒
V=
0
2 Rσ 0
3 0
La carga del conjunto es el doble de la carga de una de las esferas.
¢
∫d q
¤
£
¡
Q=2
= 4 R2 σ 0
0
La capacidad del conjunto se obtiene del...
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