Problemas De Estadística

PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA
Hallar la probabilidad de obtener una suma de 8 puntos de lanzar tres dados.
DESARROLLO
Hallamos todos los resultados posibles de cada uno de los dados:
D_1=(1,2,3,4,5,6)
D_2=(1,2,3,4,5,6)
D_3=(1,2,3,4,5,6)
Por lo tanto el tamaño total del espacio muestral será:
n(Ω_total )=6x6x6=216
Sea el evento A el conjunto de todos los casos posibles donde la suma de losresultados sea igual 8.
→A= {■((1,1,6),(1,2,5)(1,3,4)(1,4,3)(1,5,2)(1,6,1)(2,1,5)@(2,2,4)(2,3,3)(2,4,2)(2,5,1)(3,1,4)(3,2,3)(3,3,2)@(3,4,1)(4,1,3)(4,2,2)(4,3,1)(5,1,2)(5,2,1)(6,1,1) )}
Por lo tanto la probabilidad será:
P=(casos favorables)/(total de casos)
P=21/216
∴P=7/72
Se escriben al azar las cinco vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que la ``e´´ aparezca la primera y la ``o´´ laultima?
DESARROLLO
Hallamos el número total de casos, que en este casos será un permutación:
n(Ω_total )=5!=120
Entonces para que la primera vocal sea "e" y la última sea "o", entonces tenemos lo siguiente:
e 0
3 2 1
Cantidad de opciones
El total de casos donde "e" sea la primera vocal y "o" la última (evento A) serán:
n(Ω_A )=1x3x2x1x1=6
Por lo tanto la probabilidad de queocurra el evento A será:
P=(casos favorables del evento A)/(total de casos)
P=6/120
∴P=1/20
Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?
DESARROLLO
Lo primero que haremos será hallar el total de combinaciones en este caso de 20 bolas tomadas de 2 en 2. Así:
Total de combinaciones=C_2^20=20!/(20-2)!2!
→Total de combinaciones=190
Pero si queremos que al sacar dos bolas al azar, estas sean del mismo color (Evento
A) entonces analizaremos para el caso en que ambas sean rojas y luego cuando ambas sean blancas:
〖→Casos favorables〗_rojas=C_2^8=28
〖→Casos favorables〗_blancas=C_2^12=66
Porlo tanto la probabilidad de que se cumpla el evento especificado será:
P_A=P_blancas+P_rojas
P_A=28/190+66/190
〖∴P〗_A=47/95
Una caja contiene 8 fichas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se realizan 3 fichas al azar y se desea saber:
La probabilidad de que las 3 sean rojas.
La probabilidad de que dos sean rojas y una verde.
La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color.
Laprobabilidad de que todas sean de distinto color
La probabilidad de que todas sean del mismo color.
DESARROLLO
Entonces hallaremos el total de combinaciones de la fichas rojas de 3 en 3.
〖→Casos favorables〗_rojas=C_3^8=56
Y el total de casos, será:
n(Ω_total )=C_3^18=816
Entonces la probabilidad de que las tres fichas sean rojas es:
P_r=56/816
〖∴P〗_r=7/102
Entonces hallaremos el total decombinaciones de la fichas rojas de 2 en 2.
→Combinaciones fichas rojas=C_2^8=28
Ya que la otra ficha debe ser verde y por dato solo hay 6 de estas, entonces:
Total de casos a favor=C_2^8 xC_1^6
→Total de casos a favor=168
Entonces la probabilidad que dos fichas sean rojas y una verde es:
P_r=168/816
〖∴P〗_r=7/34
Entonces hallaremos el total de combinaciones de la fichas azules de 2 en 2.→Combinaciones fichas rojas=C_2^4=6
Ya que la otra ficha debe ser de otro color, entonces hay 14 fichas que podrían ocupar ese lugar, entonces:
Total de casos a favor=C_2^4 xC_1^14
→Total de casos a favor=84
Entonces la probabilidad que dos fichas sean rojas y una verde es:
P_r=84/816
〖∴P〗_r=7/68
Ahora hallaremos la cantidad de casos favorables (cuando todas son de distinto color):Total de casos a favor=8x4x6
→Total de casos a favor=192
Entonces la probabilidad que dos fichas sean rojas y una verde es:
P_r=192/816
〖∴P〗_r=4/17
Entonces hallaremos el total de combinaciones de la fichas rojas, azules y verdes de 3 en 3.
〖→Casos favorables〗_rojas=C_3^8=56
〖→Casos favorables〗_azules=C_3^4=4
〖→Casos favorables〗_verdes=C_3^6=20
Y el total de casos, será:
n(Ω_total...