Problemas de lagrange

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El metodo de los multiplicadores de Lagrange puede extenderse a los problemas de optimización restringida que incluyen funciones de mas de dos variables y más de una restricción. Por ejemplo, paraoptimizar f(x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) = k, se resuelve
f_x = λg_x f_y = λg_y f_z = λg_z y g = k
Optimización restringida
Se va a construir un joyero. El material de laparte inferior cuesta $1 la pulgada cuadrada, el de los lados cuesta $2 la pugada cuadrada, el de la parte superior o tapa cuesta $5 la pulgada cuadrada. Si el volúmen total es 96 〖pulgadas〗^3. ¿quédimensiones minimizarán el costo total de construcción?
Solución
Sea x la profundidad de la caja, y el largo y z el ancho. Entonces el volúmen de la caja es V = xyz y el costo total de construcciónestá dado por
C = 1yz + 2(2xy + 2xz) + 5yz = 6yz + 4xy + 4xz
Se desea minimizar C = 6yz + 4 xy +4xz sujeta a V = xyz = 96. Las ecuaciones de Lagrange son
C_x= λV_x o 4y + 4z = λ(yx)
C_y=λV_y o 6z + 4z = λ(yx)
C_z= λV_z o 6y + 4z = λ(yx)
y xyz = 96. Despejando λ en cada una de las primeras tres ecuaciones se obtiene
(4y+4z)/yz=(6z+4x)/xz=(6y+4x)/xy=λ
Al multiplicar en cruzpor cada ecuación se obtiene
4xyz + 4〖xz〗^2 = 6〖yz〗^2+ 4xyz
4〖xy〗^2 + 4yz = 6y^2z + 4xyz
6xyz + 4x^2y = 6xyz+ 4x^2z
Que pueden simplificarse restando primero los términos comúnes xyz deambos miembros de cada ecuación
4〖xz〗^2 = 6〖yz〗^2
4〖xy〗^2 = 6y^2z
4x^2y = 4x^2z
y luego dividiendo entre z^2 en ambos miembros de la primera ecuación entre y^2 en la segunda y entre x^2 en latercera para obtener
4x = 6y
4x = 6z de manera que y = z = 2/3x
4y = 4z
Por último, al sustituir estas expresiones en la ecuación de restricción xyz = 96 se obtiene que
x((_3^2)x)((_3^2)x) = 964/9 x^3 = 96
x^3 = 216 o x = 6
entonces y = z = 2/3(6) = 4
Luego el costo mínimo ocurre cuando...
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