Problemas de maximos

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Problemas de máximos, mínimos y puntos de inflexión
1La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:
C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300
1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.
2. Determinar losperíodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.
2Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:
r = 300t (1−t).
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
3Obtener la ecuación dela tangente a la gráfica de f(x) = 2x3 − 6x 2 + 4 en su punto de inflexión.
4Determinar a, b y c para que la función f(x)=x 3 +ax 2 +bx +c tenga un máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1.
5Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).
6Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curvaf(x) = ax4 + bx3 + c x2 + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).
7La curva f(x) = x 3 + a x2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.
8Dada la función:

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen decoordenadas.
9Hallar a y b para qué la función: f(x) = a ln x + bx 2 +x tenga extremos en los puntos x1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?
10Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
11La cantidad (y) de manera acumulada en una máquina tragaperras durante un día si unaley del tipo:

donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes preguntas:
1. ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?
2. Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina?
3. ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?
4. ¿Cuándo entrega el mayor premio?
12Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7.Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x= 1 una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.

Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima?

Solución:

Se debe maximizar el área A de un rectángulo:
Designemos con "x", "y" las longitudes de los ladosdel rectángulo.
Luego

Como el perímetro del rectángulo es 120 m. entonces la ecuación auxiliar es: de donde .

Luego

Como y entonces es un valor crítico.

Analicemos si este valor es máximo o mínimo utilizando el criterio de la segunda derivada.

Como y , entonces es un valor máximo.

Si entonces por lo que un cuadrado de lado 30 es el rectángulo de mayorárea y perímetro 120m.

3.
Una recta variable que pasa por el punto corta al eje X en y al eje Y en . Hallar el área del triángulo de superficie mínima, suponiendo A y B positivos.

Solución:

Se debe minimizar el área T de un triángulo.

Gráficamente se tiene:


El triángulo es rectángulo y su área está dada por

La recta pasa por los puntos , y , por lo que lapendiente está dada como sigue:

i.
Tomando y :
ii.
Tomando y :
Luego: es la ecuación auxiliar, de donde (*)

Entonces

,

Como entonces

ó

Determinemos, utilizando el criterio de la primera derivada si los valores críticos son máximos o mínimos:


Del cuadro anterior, como T decrece para y crece para entonces en se tiene un valor mínimo....
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