Problemas de probabilidad

1) LEY ADITIVA DE LA PROBABILIDAD

Esta regla nos indica que al calcular la probabilidad de dos o más eventos sus probabilidades deben sumarse. Sin embargo, se debe cuidar la manera en que ocurren los eventos, ya que en ocasiones los eventos son totalmente independientes uno del otro y en otras no.

a) PARA EVENTOS MUTUAMENTE NO EXCLUYENTES: si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, laregla de adición indica que la probabilidad de qiue ocurra Ao B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas:

P(A O B)=P(AUB)=P(A) + P(B)



Para el caso de tres eventos A,B Y C mutuamente excluyentes, la probabilidad es:

P(A o B o C)=P(A U BUC)= P(A) + P(B) +P(C)

Ejemplo 2: Al tirar 6 monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caigan al menos 4 águilas?Solución:

El espacio muestral es: 26= 64 resultados posibles.
Los eventos favorables son que caigan al menos 4 águilas, esto es que caigan 4 águilas o más, por lo tanto son: C (6,4)+C(6,5)+C(6,6).

La probabilidad es: p(E)=# de resultados favorables/ # total de resultados
p(al menos 4 águilas) = C(6,4)+C(6,5)+C(6,6)/ 64

p(E) = 15+6+1/64
p(E) = 22/64 = 11/32 = 0.34375

Ejemplo 3: Seelige al azar un número entero positivo del 1 al 19. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 ó de 5?

Solución:

Ejemplo 4: Se lanza un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par o menor que 5?

Solución:



Ejemplo 5: Desde una tómbola con 36 bolitas numeradas del 1 al 36 se extrae una al azar. La probabilidad de que resulte un número par onúmero menor que 10 es:

Solución:



b) PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Si los dos eventos A y B son mutuamente no excluyentes, la regla de adición indica que la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas menos su intersección:

P(A o B) = P(AUB) = P(A) + P(B) – P (A п B)

Para el caso de tres eventos A,B Y C no excluyentes, laprobabilidad es:
P (A o B o C) = P(AUBUC) = P(A) +P(B) + P(C) – P(AnB) – P(AnC) –P(BnC) +P(AnBnC)

Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de que salga 2 ó 5? Se puede notar que no puede salir ambos a la vez; son independientes uno del otro.
La probabilidad es: P(A o B) = P(A) +P(B)
P(2 ó 5) = p(2) + p (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Ejemplo 2: ¿Cuál es la probabilidad de que salga 4 ó un número mayoro igual que 3? En este caso el evento es p (4 ó mayor i igual a 3), lo que nos da:
P(4 ó ≥ 3 )= p(4) + p(≥3)=p(4)+p(3,4,5,6)
Ejemplo 4: Se tiene un circulo eléctrico con dos lámparas, A y B, en paralelo; se ha determinado, que la probabilidad de que funcione la lámpara A es de 0.9 y la de la lámpara B, es de 0.8; además, la probabilidad de que funcionen A y B simultáneamente es de 0.75. ¿Cuálserá la probabilidad de que funcione bien el circuito?
Solución:
P(A o B) = P(A) + P(B) – P (A n B)
P(A o B) =P(0.9) + P(0.8) – P(0.75)
=0.95
Ejemplo 5: En una determinada población, el 70% son aficionados al fútbol, el 60% al tenis y el 65% al baloncesto. El 45% lo son al fútbol y al tenis, el 40% al tenis y al baloncesto y el 50% al fútbol y al baloncesto, mientras que el 30% los son a lostres deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo escogido al azar no sea aficionado a ninguno de los tres deportes?
Solución:
F = aficionados al fútbol, T= aficionado al tenis, B = aficionado al baloncesto.
Pensando al contrario, es decir, calculamos en primer lugar la probabilidad de que sea aficionado al menos a uno de los tres.
P(FUTUB) = P(F) + P(T) + P(B) – P(FnT) –P(F n B) –P(T n B) – P(FnTnB)
= 0.70+ 0.60 + 0.65 – 0.45 – 0.50 – 0.40 + 0.30 = 0.90
Por lo tanto:
P(“no sea aficionado a ningún deporte de los tres”) = 1- 0.90 = 0.10
2) LEY MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDAD
La ley multiplicativa de probabilidades indica que la probabilidad de que dos sucesos A y B ocurran simultáneamente es igual a:

La ley multiplicativa anterior se utiliza también con el fin...