Problemas de programación lineal

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EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
 
1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión enB. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
Solución
Es un problema de programación lineal.
Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A
Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B
 
|  |inversión |rendimiento |
|Tipo A |x|0,1x |
|Tipo B |y |0,08y |

                                                                                         210000               0,1x+0,08y
Condiciones que deben cumplirse (restricciones):
             [pic]
             [pic]
[pic]R1    [pic]
  R2    [pic][pic]
  R3    [pic][pic]
  R4       [pic]
 
Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)
         r1                                            r2 (paralela a OY)                      r3(paralela a OX)                           r4
|x |y |  |x |y|
|T. Vienesa |x |1.x |0,250x |250x |
|T. Real |y |1.y |0,500y |400y |
|  |  |150 |50 |  |

 
Función objetivo (hay que obtener su máximo):  f(x,y)=250x+ 400y
Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):
[pic]
Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible:
 
Para    0.25x+0.50y=50, ó  x + 2y=200
|x |Y |
|0 |100 |
|200 |0 |

 
Para   x + y =150
|x |Y |
|0 |150 |
|150 |0 |

La otras dos son paralelasa los ejes
Al eje OY    x=125
Al eje Ox      y =125
Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante
La región factible la hemos coloreado de amarillo:
[pic]
 
Encontremos los vértices:
El  O(0,0), el  A(125, 0) y el  D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados)
Se observa quela restricción y[pic]es redundante (es decir “sobra”)
Resolviendo el sistema:
[pic], por reducción obtenemos y=50, x=100
 
Otro  vértice es el punto  C(100, 50)
Y el último  vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:
X+y=150
X=125
Cuya solución es: X=125,  Y=25  B(125, 25)
 
Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100),
Si dibujamos elvector de  dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y
Haciendo 250x+ 400y =0,   y=-(250/400)x=-125x/200
 
|x |Y |
|0 |0 |
|200 |-125 |

 
[pic]
Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice mas alejado (el último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 )
Lo comprobamos con elmétodo analítico, es decir usando el teorema que dice que si existe solución única debe hallarse en uno de los vértices
La unción objetivo era:  f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vértices obtenemos
f(125,0)=31.250
f(125,25)=31.250+10.000=41.250
f(100,50)=25.000+20.000=45.000
f(0,100)=40.000
 
El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50)
Conclusión:  se tienen que...
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