Problemas de transformada laplace

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PROBLEMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE APLICADA EN CIRCUITOS ESTECTRICOS
ALUMNO: HECTOR DIAZ ESTELA CODIGO: 03190171
PROFESOR: ROCHA
EJEMPLO 1
Dado el circuito de la figura, con las siguientes condiciones iniciales:

Encuentre i(t), utilizando la transformada de Laplace.
 
SOLUCIÓN:
Como primer paso, incluimos las condiciones iniciales en el circuito del dominio deltiempo, y luego transformamos todo el circuito al dominio de la frecuencia:
 

La ecuación principal para resolver el problema, es:

Ahora planteamos dos ecuaciones de malla, teniendo en cuenta que la segunda ecuación corresponde a la malla exterior del circuito:

despejamos estas ecuaciones:

Y reemplazando en la ecuación principal:

separamos el primer sumando en fracciones parciales,ya que el segundo sumando ya posee coeficiente:

hallamos estos coeficientes:
 
con lo cual la función respuesta en el dominio de la frecuencia, es:

Esta ecuación podemos convertirla directamente al dominio del tiempo:

EJEMPLO 2
Según el circuito de la figura, encuentre:
a)
b) h (t)
c) i2(t) si
 

SOLUCIÓN:
a) Transformamos el circuito al dominio de la frecuencia:
 Planteamos las siguientes ecuaciones de malla:
 
Organizando estas ecuaciones:

despejamos de la segunda ecuación el valor de I1(s), y lo reemplazamos en la primera ecuación:
 

Esta última ecuación es una función de transferencia del circuito.
b) Para saber el equivalente de H(s) en el dominio del tiempo, aplicamos fracciones parciales:
 
En esta ocasión, empleamos el planteamiento deecuaciones para hallar los coeficientes A y B: 

resolvemos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 

con lo cual, la función H(s) queda: 

ecuación a la que aplicamos directamente la tabla de transformadas inversas, lo que se traduce en una respuesta en el dominio del tiempo:
 

c) Tomamos la función de transferencia H(s) y despejamos el valor de I2(s) en términos de Vs(s):
 Aplicamos la transformada de Laplace a la función vs (t), y reemplazamos el resultado en la anterior ecuación:

hallamos estos coeficientes, utilizando la misma técnica que se uso en el ítem anterior: 

ordenando:

resolviendo este sistema, obtenemos:

con lo cual la función I2(s) se puede rescribir como:

y finalmente, aplicando pares de transformadas para regresar al dominio del tiempo, sellega a:

EJEMPLO 3
SOLUCIÓN POR SUPERPOSICIÓN  
La función respuesta para el caso del circuito RLC serie con excitación de voltaje, puede ser expresada como:

 
donde: 
 
De forma similar, la respuesta para el circuito RLC paralelo con fuente de voltaje como excitación, puede escribirse: 

donde:
 
con estas ecuaciones, se puede concluir que la función respuesta es la suma decomponentes separadas, cada una de ellas obtenida dejando una fuente activa mientras las otras son cero (Teorema de Superposición).A continuación, se presenta un ejemplo que resume de forma práctica este procedimiento. El siguiente circuito posee tres fuentes, una de voltaje senoidal, otra de voltaje DC, y otra de corriente DC:
 
 
Como primer paso, recordamos la transformada de coseno y aplicamos latransformada de Laplace a la fuente de voltaje:

 
 
cada una de las tres fuentes se analiza como si las otras dos fuesen cero. Hay que tener en cuenta que cuando una fuente de voltaje se reduce a cero, en su lugar queda un corto-circuito; cuando se trata de una fuente de corriente, queda un circuito-abierto. Las tres situaciones se presentan en los circuitos a continuación:
 

 
 

 
 del primer circuito podemos extraer la primera componente de la función respuesta:

y de los otros dos:
 
La tercera componente es cero, porque la corriente de la fuente fluye toda por el corto-circuito.
De acuerdo a lo expuesto al principio de esta sección, la respuesta es igual a la suma de las componentes:

Ahora aplicamos transformada inversa de Laplace, para encontrar la respuesta...
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