problemas de valor inicial

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación

Problemas de Valor inicial

1. Aproximar el siguiente problema de valor inicialpor el método de Euler con un
paso de 0.3:
(𝑒 𝑡 + 1)𝑥´(𝑡) + 𝑥(𝑡)𝑒 𝑡 − 𝑥(𝑡) = 0,

𝑥(0) = 3.

2. Considere el siguiente P.V.I del péndulo no lineal forzado periódicamente:
𝑑𝜃
+ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) =0,01𝑠𝑒𝑛(𝑡) ; 𝜃 = 1; 𝑠𝑖 𝑡 = 0
𝑑𝑡

Para aproximar por el método de Euler el valor de 𝜃 (0.3) 𝑦 𝜃´(0.3) con paso
ℎ = 0,1.
3. Utilizar el método RK2 semi-implícito definido por
ℎ
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + {𝐾1 + 𝐾2 }
2
ℎ
Con 𝐾1 =𝑓(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 + 𝐾1 ) y 𝐾2 = 𝑓 (𝑥𝑛 + , 𝑦𝑛 + 𝐾2 ) para resolver numéricamente el
2

siguiente PVI:
𝑦′ =

1
𝑥2

𝑦
𝑥

− − 𝑦2 , 1 ≤ 𝑥 ≤ 2

Con condición inicial 𝑦(1) = −1, considerando un paso de0.2.
4. Aproxime el problema anterior con el siguiente método:
2
1
4
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ [ 𝐾1 + 𝐾2 + 𝐾3 ]
9
3
9
ℎ ℎ
3 3
𝐾1 = 𝑓(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) , 𝐾2 = 𝑓 (𝑥𝑛 + , 𝐾1 ) , 𝐾3 = 𝑓 (𝑥𝑛 + ℎ, ℎ𝐾2 )
2 2
4 45. Considere el siguiente P.V.I:
𝑧´ + 2𝑡𝑧 = 4 ln(𝑡)(2 + 2𝑡 2 ln(𝑡) + ln(𝑡)) ;

𝑧(1) = 0

a) Emplear el siguiente algoritmo para aproximar z(0.2) con un paso
ℎ = 0.1:
ℎ
𝑧𝑛+1 = 𝑧𝑛 + (𝑉1 + 5𝑉2 )6

3
3
𝑉1 = 𝑓(𝑡𝑛 , 𝑦𝑛 ) ; 𝑉2 = 𝑓(𝑡𝑛 + ℎ, 𝑧𝑛 + ℎ𝑉1 )
5
5
b) Si se conoce el valor de la solución analítica que es 𝑧(𝑡) = 4𝑡[ln(𝑡)]2 ,

comente la precisión de su aproximación justificando elvalor
encontrado.
6. Considere:
𝑥´´´ + 𝑥´´ + (𝑥´)2 − 9𝑡𝑥 = 6
6
𝑥(0) =
; 𝑥´(0) = 𝑥´´(0) = 0
9

Para que se aproxime la solución del problema de valor inicial en t = 0.6 segundos
usando elmétodo de Simpson con ∆𝑡 = 0.3, definido por:
un2  u n  h F (t n , u n )  4 F(t n 1 , u n 1 )  F(t n 2 , u n 2 )
3
*
u1  u0  0.3F (t0 , u0 )





u u

 0.3F (0.3, u1* )
Use lanorma infinito para estimar el error, cometido en la posición, velocidad y
6
aceleración en t = 0.6, sabiendo que la solución exacta es 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 + .
9
7. Dado el P.V.I.
*
2...