Problemas Propuestos Diagrama De Bode

Teoría de Sistemas y Señales
Problemas Propuestos - Serie 6 Descripción: Diagrama de Bode y Estabilidad
1. Dados los siguientes polinomios denominadores de Funciones Transferencias racionales, determine si existen raíces en el eje imaginario o en el semiplano derecho.

a ( s ) = s 5 + 5s 4 + 11s 3 + 23s 2 + 28s + 12 7 6 5 4 3 2 b. a ( s ) = s + 8s + 21s + 10 s + 5s + 12 s + 6 s + 3 4 3 2 c. a( s ) = s + 8s + 32 s + 80 s + 100 5 4 3 2 d. a ( s ) = s + 10 s + 30 s + 80 s + 344 s + 480 4 3 2 e. a ( s ) = s + 2 s + 7 s − 2 s + 8 3 2 f. a ( s ) = s + s + 20 s + 78
a. 2. Hallar el rango de valores de K para el cual todas las raíces del siguiente polinomio están en el semiplano izquierdo

a ( s ) = s 5 + 5s 4 + 10 s 3 + 10 s 2 + 5s + K
3. Hallar el rango de valores de

K p y K I talque el sistema con retroalimentación PI (Proporcional +

Integral) de la figura sea asintóticamente estable. +

Kp +
_

KI s

1 ( s + 1)( s + 2)

4.

La ecuación diferencial que describe un motor de corriente continua con excitación independiente constante, si se desprecia la inductancia de armadura, está dada por

ω ' (t ) +
donde

Rb + k 2 k 1 ω (t ) = u a (t ) − τ ( t ) RJ RJ J(1)

ω (t ) , es la velocidad del motor, u a (t ) es la tensión de armadura, τ (t ) es el torque de carga, R es la resistencia de armadura, J es el momento de inercia del rotor, k es la constante de conversión electro-mecánica, y b es el coeficiente de rozamiento en el eje del motor. Para regular la velocidad del motor respecto a una velocidad de referencia ω ref , se mide la
velocidad delmotor y se computa la tensión de armadura como una función del error

ε = ω ref − ω
de la siguiente forma
t

ua (t ) = k pε (t ) + k I ∫ ε (τ )dτ
0

a. Determinar el rango de valores de las ganancias

k p y k I para que el sistema con

retroalimentación sea asintóticamente estable. Suponga que los parámetros del motor asumen valores tales que la ecuación diferencial (1) resulta TeSySPágina 1 de 4

ω ' (t ) + 60ω (t ) = 600ua (t ) − 1500τ (t )
b. Hallar la función transferencia entre la entrada salida

ω.

ω ref y la salida ω , y entre la entrada τ y la

c. Calcular los valores de las ganancias

k p y k I para que el sistema en lazo cerrado tenga polos en

− 60 ± j 60 .
5. Trazar los Diagramas de Bode de Amplitud y Fase de los siguientes sistemas, y siempre quesea posible determinar la frecuencia de cruce por cero, y la frecuencia para la cual la fase es -180°. a.

G( s) =

b. c. d. e. f. g. h. i. j.

G( s) = G( s) = G( s) = G( s) = G( s) = G( s) = G( s) = G( s) = G( s) =

1 (s + 1) (s 2 + s + 4 ) s (s + 1)(s + 10)(s 2 + 5s + 2500) 4 s (s + 10) (s + 50)(4 s 2 + 5s + 4 ) 10(s + 4 ) s (s + 1)(s 2 + 2 s + 5) 1000( s + 1) s (s + 2 )(s 2 + 8s + 64 )(s + 5)(s + 3) s (s + 1)(s 2 + s + 4 ) 4000 s (s + 40 ) 100 s (1 + 0.1s )(1 + 0.5s ) 1 s (1 + s )(1 + 0.02 s ) s −1 s (1 + s )(1 + 0.02 s )
2

6.

La figura representa el Diagrama de Bode asintótico (de Amplitud) de un sistema lineal estacionario. Determine y grafique la respuesta del sistema a un escalón unitario de entrada, asumiendo condiciones iniciales nulas.

G ( jω )
10

1 0.1 17. 10 100 1000

ω

La función transferencia de un SLE es

G (s) =

ωn

2 2

s 2 + 2ξω n s + ω n

.

A502 - TeSyS

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Verificar que el Ancho de Banda

Bω del sistema se puede calcular como

Bω = ω n 1 − 2ξ 2 + 2 + 4ξ 4 − 4ξ 2 .
8. La función transferencia de un SLE es

G (s) =

ωn s
2

s 2 + 2ξω n s + ω n

2

.

a. Determinar analíticamente laamplitud y fase de la transferencia armónica función de la frecuencia normalizada b. Si se define el ancho de banda

G ( jω ) , y graficarlas en

ω

ωn

, para

ξ = 0.1, 0.25 , 0.5 ,1 .

Bω como la distancia entre las frecuencias a ambos lados de ω n para las cuales la amplitud cae 3 dB por debajo de su valor a la frecuencia ω n , mostrar que el ancho de
banda así definido está dado por...