Problemas resueltos de cálculo vectorial y análisis lineal

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ANÁLISIS LINEAL:
TRANSFORMADA DE FOURIER

CONCEPTOS BÁSICOS

La idea de las series de Fourier vista en la clase anterior permite pensar en la representación de funciones no periódicas,asimilándolas a una periódica de período infinito. Con esta idea se llega a la transformada de Fourier de una función, definida por:

[pic]

En base a ella se puede representar a la función f mediante unaintegral, igual que antes lo hacíamos mediante una sumatoria en el caso de series de Fourier:

[pic]

La F vendría a jugar, pues, el rol de un “coeficiente”. Ambas expresiones se suelen relacionarmediante la simbología:

[pic]

En realidad, pocas veces se apela al cálculo directo para obtener una transformada, sino que se las genera a partir de otras conocidas (p. 264 Gabel) más el uso delas propiedades de la transformada (p. 275 Gabel). Iremos introduciendo algunas de estas propiedades en los ejemplos resueltos.

PROBLEMAS RESUELTOS

) Cálculo directo de una transformada.Calcular la transformada de Fourier de la función f dada por

[pic]

Solución

[pic]

Esta integral es fácil pero laboriosa. Una manera de resolverla con relativa practicidad es expresar el coseno ensu forma compleja. Al hacer los cálculos queda:
[pic]

) Propiedad de simetría. Eligiendo el método más conveniente, calcular la transformada de Fourier de la función:

[pic]

Solución

Enlas tablas encontramos que [pic]. Por lo tanto estamos tratando de encontrar la transformada de una función que, si estuviera expresada en (, sería la transformada de una función conocida. Para casoscomo éste cabe aplicar la propiedad de simetría, que expresa que si f(t) ( F((), entonces F(t) ( 2(f(–().

En nuestro caso, podemos escribir, aplicando la mencionada expresión de tablas y lapropiedad de linealidad: [pic]. Por lo tanto por la propiedad de simetría podemos escribir [pic]. Veamos que u(–() es la imagen especular de u((), y se puede expresar como u(–() = 1- u((). Reescribiendo la...