CALCULO DE AREAS Y VOLUMENES POR INTEGRALES DOBLES

Definición 1.
Consideremos la función f:D⊂R2→R, continua sobre la región cerrada D. El volumen del solido S bajo la superficie z=f(x,y), que tiene como base la región D es dado por la expresión:
VS=Df(x,y) dA
Definición 2.
Consideremos la función f:D⊂R2→R, continua en laregión cerrada D, tal que: fx,y=1, ∀x,yϵD, entonces el área plana D es dado por:
AD=Dfx,ydA=DdA

1. Hallar el Área de la región acotada por las líneas: y=x2+2 ;y=x+4
Resolución:
Igualando los valores de y:
x2+2=x+4
x2-x-2=0
x-2(x+1)=0
x=2 v x=-1

Luego:
A=-12x2+2x+4 dydx
A=-12(y)x2+2x+4dx
A=-12(x+4-x2-2 )dxA=--12(x2-x-2 )dx
A=-(x33-x22-2x)-12
A=-(83-2-4--13-12+2)
A=-(-103-76)
A=--276
A=92u2

2. Calcular el Área de la región limitada por las líneas: x=y2-2y ; x+y=0
Resolución
Igualando las ecuaciones:
y2-2y=-y
y2-y=0
yy-1=0
y=0 v y=1
Luego:
A=01-yy2-2ydxdy
A=01(x)-yy2-2ydy
A=01(y2-2y+y )dy
A=-01(y2-y )dyA=(y33-y22)01
A=13-12
A=16u2

3. Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies z=x2+y2 y=x2;y=1;z=0
Resolución:
Igualando los y:
x2=1
x=±1

Luego:
V=-11x21zdxdy
V=-11x21x2+y2dydx
V=-11(yx2+y33)x21dx
V=-11x2+13-x4-x63dx
V=(x33+x3-x55-x621)-11V=13+13-15-121-(-13-13+15+121)
V=23-15-121-(-23-15+121)
V=70-21-5105-(-70+21+5105)
V=44105--44105=88105u3
4. Encontrar el volumen de la región acotada por los tres planos coordenados y el plano x+2y+3z=6
Resolución

D=(x,y)∈R2/ 0≤x≤6; 0≤y≤6-x2
Usando integrales dobles y proyectando la región sobre el plano XY tenemos:V=0606-x26-x-23dydx
V=13066-xy-y206-x2
V=1306(6-x)22-(6-x)24dx
V=11206(6-x)2dx
V=(136(6-x)3)06
V=6u3

5. Calcular el área usando integrales dobles. Rxy+2x2dA siendo R: y=x ; y=-x; x=0; x=4
Resolución:

A(R)=Rxy+2x2dxdy
A=04-xxxy+2x2dydx
A=04xy2+2x2y x-x dx
A=0432x3+x22+2x52 dx
A=96+8+2452
∴AR=179.81 [continua]

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