Problemas resueltos de precalculo

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PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1
* TEORÍA DE CONJUNTOS
* FUNCIONES, DETERMINACIÓN DE SUS DOMINIOS
* DESIGUALDADES
* OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
* MATRICES
* RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POR PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
* TEOREMA DE DE MOIVRE
* DIVISIÓN SINTÉTICA
* SISTEMAS DE ECUACIONES Y REGLA DE CRAMER

1.-Sean A= {α, β, γ, δ, ε, θ, π, φ, к, р}. B={α, δ, θ, π, φ, к} y C= {β, δ, ε, к, р}, encuentre:
a) A ∩ B, b) B ∩ C, c) A – B, d) B – A, e) A- (B ∪ C).
Formulas. Respuestas.
A ∪ B = Unión a) A ∩ B = {α, δ, θ, π, φ, к}
A – B = Diferencia b) B ∩ C= {δ, к}
A ∩ B = Intersección c) A – B= {β, γ, ε, р}
B ∪ C =Unión d) B – A= { }
e) A- (B ∪ C)= {γ}
2.- Hallar el dominio de la función: ƒ (×)=x-1-x2+x+6
Procedimiento-x-1x2-x-6 ≥0
x2-x-6
x+2 x-3
Raíces: x1= 1 x2= -2 x3= 3
Zona 1: -3-1--32 + -3+ 6= -4-6 = 23 = (+)
Zona 2: 0-1-(0)2+0+6 = -16 = (-)
Zona 3: 2+1-2+2= 30 = (+)
Zona 4: 4-1-(4)2+4+6= 3-6 = 1-2 = (-)
Dominio = (-∞, -2) ∪(1, 3)1
-2
-
+
-
+
3

3.-Resuelve la siguiente desigualdad y representa la solución en notación de intervalos y gráficamente. 1+x-32≥2
Fórmulas Procedimientoax+b≥c 1+x-32≥2
ax+b≥-c x-32≥2-1
x-32≥1
x- 32≥1 x- 32≤-1
x≥1+ 32 x≤-1+ 32
x≥52 x≤12
12

52



Intervalo = -∞,12∪52,∞
4.- Realiza las siguientes operaciones combinadas con números complejos y el resultado exprésalo de forma polar.
4-3i-3-3+3i∙53-4i2
{[(4-3i)-(3-(3+√3)i) ].5[3-4i] }^2
{[(4-3i)-(3-(3i+√3i) ].15-20i }^2
{[(4-3i)-(3-3i-√3i) ].15-20i }^2{[(4-3i)-(3-3√3i) ].15-20i }^2
{(1+√3i) (15-20i }^2
{15-20i+153i-203i2 }^2
{15-20i+25.98i+34.641 }^2
{49.641-5.98i }^2
{2464.22-296.85i-296.85i+35.7604 i2}
2428.45-593.1i

5.- Si A=38-121418111-380 12-14-34 y B=-36112-1613-16761-43-1-56-1 calcular A X B
Fórmulas.A×B=a11b11+a12b21+a13b31+a14b41a11b12+a12b22+a13b32+a14b42(a11b13+a12b23+a13b33+a14b43)a21b11+a22b21+a23b31+a24b41a21b12+a22b22+a23b32+a24b42(a21b13+a22b23+a23b33+a24b43)a31b11+a32b21+a33b31+a34b41a31b12+a32b22+a33b32+a34b42(a31b13+a32b23+a33b33+a34b43)
A×B=a11a12a13a21a22a23a31a32a33 a14a24a34×b11b12b13b21b22b23b31b41b32b42b33b43
Procedimiento.
A B = (-316+112+724+1)(38-116-412-12)(316+112-524-12)(-116+16+76+14)(18+13-43+14)(116-16-56+14)(-36+116+0-43)(1-18+0+34)(12+116+0+34)
A B = 1116-58-716116-58-1116-1916 138 2116

6. Resuelve las siguientes ecuaciones

a)2logx=1+logx-0.9
Fórmulas. Procedimiento
logaAB= logaA-logaB 2logx=1+logx-0.9
logx2-logx-0.9=1
log x2x-0.9=1
101= x2x-0.9

10x-0.9=x2
x2-10x+9=0

(x-9) (x-1)

X1= 9 x2= 1
b) 7x+1- 7x-1=48
Fórmula: Procedimiento
Propiedad de los exponentes: multiplicación 7x+1-7x-1=48
an· am= an+m 7x· 71- 7x· 7-1=48
x 7·7-7· 17=48
x49-1=48
x48=48
x= 4848
X= 1

7.- Utiliza el teorema DeMoivre para cambiar el numero complejo a la forma a + bi
-32-1250
Formulas Procedimiento
r=a2+b2 r=-322+-122
θ=tan-1ba r=34+14
-y-x=180+θ r=1
Zn=rn(cosn∙θ+isinn∙θ r=1
θ=tan-1-12-32
θ=tan-133
θ=30
θ=30+180
θ=210
-32-12=150cos50∙210+isin50∙210
=1cos10500+isin10500=112+32i=12+32i

8.- Encuentra las 2 raíces cuadradas de: 1+3i
Fórmulas:r=a2+b2r'=nrθ=baθ'=θ+360°knWk=nrcos⁡(θ')+isen(θ') | (1,3)r=12+(3)2
r=1+3
r=4
r=2

r'=2

θ=tan-131=60°

θ'=60°+360k2k0=30°k1=210°

W0=2cos⁡(30°)+isen(30°)= 62+22i

W1=2cos⁡(210°)+isen(210°)= -62-22i

|
9.- Encuentra las raíces del siguiente polinomio: x4- 3x3-13x2+ 9x+30=0
Fórmulas. Procedimiento.
P x-a=0 Esdivisible entre: ±1,±2,±3,±5,±10,±15,±30
F (1) = 1-3-13+9+30 = 24
F (-1) = 1+3-13+9+30 = 30
F (-2) = 16+24-52-18+30 = 0


-2 1 -3 -13 9 30 Raíz= x-2
0 -2 10 6 30 x = 2
1 -5 -3 15 0
x3-5x2-3x+15 Que es divisible entre: ±1, ±3,±5±15
F1=1-5-3+15=8
F -1=-1-5+3+15=12
F3=27-45-9+15= -12
F-3=-27-45+9+15= -48
F5=125-125-15+15=0
5 1 -5 -3 15 Raíz 2=...
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