Problemas y cuestiones de torsión

Las cuestiones y problemas que se proponen a continuación fueron planteadas
en diferentes exámenes de
Resistencia de Materiales, Elasticidad y Plasticidad,
asignatura de tercer curso del plan de estudios anterior al actual.

Primer parcial curso 1993/1994
La función de Prandtl correspondiente a la sección
representada (un triángulo equilátero de lado L), en los ejes indicados,
es

ϕ=Gθ
2a

( x -3 x
3

2

y-a

(x

2

+y

2

)+

4
27

a

3

)1

y su módulo de torsión es
4

J=

a
2
15 3

Se pide determinar el estado tensional en un punto genérico
de una varilla de de longitud 20a, cuya sección transversal es la
indicada, sometida a dos momentos torsores en sus caras extremas, de
módulo MT y sentidos contrarios. Considérese un sistema dereferencia cuyos ejes x e y sean los indicados en la figura, el z forme con ellos un sistema dextrógiro y el origen de
coordenadas sea el centro de gravedad de la sección media de la varilla. Exprese las tensiones en función de MT.
SOLUCIÓN

El problema que se plantea es de torsión pura, y en consecuencia su solución está perfectamente
definida una vez conocida la función de Prandtl. Eltensor de tensiones, en el sistema cartesiano indicado,
se determina mediante:

σ x = σ y = σ z = τ xy
∂ϕ
τ xz =
∂y
∂ϕ
τ xz = ∂x


=0


3





En consecuencia, su valor en este caso es

σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
Gθ
( - 3 x 2 - 2 ay )
τ xz =
2a
Gθ
( 3 x 2 - 6 xy - 2 ax
τ xz = 2a
Por otra parte, como

MT = G θ J 5

es inmediato calcular

15 3 MT
G θ = MT =6
4
J
a

)





4





de donde, finalmente, el tensor de tensiones en función de MT resulta

σx

3 MT
( - 3 x 2 - 2 ay )
5
2a
15 3 M T
( 3 x 2 - 6 xy - 2 ax
=5
2a

τ xz =
τ xz

= σ y = σ z = τ xy = 0
15

)





7





Debe señalarse que, en lo anterior, se ha considerado que la función de Prandtl dada en el enunciado escorrecta. No obstante, por un error de mecanografía, no lo es, ya que la correspondiente al problema
planteado resulta

ϕ=

Gθ
2a

( x -3 xy -a ( x
3

2

2

+y

2

)+

4
27

a

3

)8

En consecuencia, si se comprueba la ecuación de campo y las condiciones de contorno que debe cumplir la
función de Prandtl, a partir de la dada en el enunciado, se llega a que no las verificay, por lo tanto, no
puede ser la solución del problema. Por ello, aunque lo que se esperaba era la resolución del problema
expuesta arriba, aceptando como bueno el valor de _, por venir dado, se ha considerado también como
respuesta válida la indicación de que no puede resolverse porque dicha función no es solución del
problema, siempre que se haya justificado debidamente esta afirmación.Examen final curso 1997/1998
Para cada una de las secciones que se definen en la figura, determinar el módulo de torsión y representar la
distribución de tensiones que origina un momento torsor MT = 1 mT, acotando los valores más representativos en
T/m2. Con este enunciado se entregará una hoja con dos esquemas de cada sección, uno a escala, por si lo necesita
para anotar cualquier información,y otro con los espesores exagerados, sobre el que deberá dibujar la distribución de
tensiones tangenciales, indicando como varía a lo largo de los lados y sobre el espesor.

Segundo parcial curso 1992/1993
La viga AB, de 8'0 m de longitud, está sometida a un momento torsor M que actua en el punto medio C de la
misma, y tiene impedido el giro en ambos extremos.
Su esquema, así como la ley demomentos torsores que dicha carga produce, se hallan representados en la
figura adjunta.
Se consideran cuatro posibles secciones transversales, que se hallan representadas en la página siguiente,
donde tambien se indican algunas de sus características mecánicas.
Para cada una de ellas se pide indicar si el problema planteado en la figura se puede abordar por el método
aproximado de tratar...