Procesamiento digital de señales

2. Análisis temporal de sistemas continuos y discretos

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2. Análisis temporal de sistemas continuos y discretos
2.1 Respuesta temporal.
La respuesta temporal de un sistema lineal invariante en el tiempo puede descomponerse en dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria. De este modo, si denominamos c(t) a la expresión de la respuesta temporal:

c( t ) = ct ( t ) +css( t )
donde: ct(t) = Respuesta transitoria. css(t) = Respuesta estacionaria. La respuesta transitoria es originada por la propia característica dinámica del sistema y determina el comportamiento del sistema durante la transición de algún estado inicial hasta el estado final. La respuesta estacionaria depende fundamentalmente de la señal de excitación al sistema y, si el sistema es estable, esla respuesta que perdura cuando el tiempo crece infinitamente. De este modo hemos logrado determinar de un modo simple la estabilidad absoluta de un sistema; se dice que un sistema es estable si su respuesta transistoria decae a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Se define el error en estado estacionario como la diferencia entre la señal de referencia y la señal realimentada en estadoestacionario en sistemas estables. Este error coincide con el valor estacionario de la señal originada por el detector de error. Por otra parte, en sistemas de control, interesa minimizar la desviación de la señal de salida respecto a la señal de entrada en estado transitorio. Por esta razón se caracteriza la respuesta transitoria respecto a entradas típicas o estándares, conociendo que, como el sistemaes lineal, la respuesta del sistema a señales más complejas es perfectamente predecible a partir del conocimiento de la respuesta a estas entradas de prueba más simples. Generalmente, las entradas típicas son: función impulsional, función escalón, función en rampa y función parabólica en el tiempo; aunque la más importante de todas ellas es, sin duda, la función escalón.

© los autores, 1998; ©Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, así como laexportación e importación de ejemplares para su distribución y venta fuera del ámbito de la Unión Europea.

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Teoría de control. Diseño electrónico

2.1.1 Sistemas de primer orden. Sistema de primer orden es aquel que únicamente posee un polo en su función de transferencia.

R(s)

1 Ts + 1

C(s)

Fig. 2.1 Sistema de primer orden. T: constante de tiempo del sistema

* Respuesta alescalón: r ( t ) = u( t ) → R (s) = 
TL

1 s

C(s) =

t   − 1 1 TL− 1 ⋅ → c( t ) = 1 − e T  ⋅ u( t ) Ts + 1 s    

Obsérvese que c(t) =1 cuando t tiende a infinito si T> 0; esto implica que el polo de la función de transferencia del sistema debe encontrarse en el semiplano izquierdo del plano transformado S. Si T ≤ 0, el sistema no alcanza el estado estacionario, resultando, deeste modo, el sistema inestable. Gráficamente:

c(t) Pendiente=1/T

c( t ) c( t ) = 1 − e T

−t t = 1− e T

100 % 98.2% 86.5%

63.2%

0

1T

2T

3T

4T

5T

6T

Fig. 2.2 Respuesta al escalón

Observando la gráfica se comprueba que para t = T la señal de salida ha alcanzado el 63.2 % del valor final, siendo esta una medida típica en la caracterización de sistemas de primerorden.

© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

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A efectos prácticos, se considera que cuando han transcurrido por lo menos cuatro constantes de tiempo, la señal de salida ha alcanzado el valor final.

t = 4T → c( t ) ≅ css( t ) ≈ 1
De este modo se deduce que cuanto más pequeña es la constante de tiempo de un sistema de...