procesamiento digital de señales




Transformada
De
Fourier

Índice
1. Introducción

1.1 Series de Fourier
1.2 Transformada continua de Fourier
1.3 Transformada discreta de Fourier
1.4 Transformada rápida de Fourier

2. Fundamento Matemático

2.1 Series de Fourier
2.2 Transformada continua de Fourier
2.3 Transformada discreta de Fourier
2.4 Transformada rápida de Fourier

3. Desarrollo
4. Resultados5. Conclusiones
6. Bibliografía.

1. Introducción.

1.1 Series de Fourier.
La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo
T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo T. El problema aparece naturalmente en astronomía, de hecho Neugebauer (1952) descubrió que los babilonios utilizaron una forma primitiva de lasseries de Fourier en la predicción de ciertos eventos celestiales.

La historia moderna de las series de Fourier comenzó con D'Alembert (1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del violín. El desplazamiento de una cuerda de violín, como una función del tiempo t y de la posición x, es solución de la ecuación diferencial.


sujeto a las condiciones iniciales para , para . Lasolución de este problema es la superposición de dos ondas viajando en direcciones opuestas a la velocidad 1, como lo expresa la fórmula de D'Alembert:

en la cual f es una función impar de período 2 que se anula en los puntos Euler en 1748 propuso que tal solución podía ser expresada en una serie de la forma


y como consecuencia



Las mismas ideas fueron luego expuestas por D.Bernoulli (1753) y Lagrange
(1759). La fórmula


para calcular los coeficientes apareció por primera vez en un artículo escrito por Euler en 1777.

La contribución de Fourier comenzó en 1807 con sus estudios del problema del flujo del calor


presentado a la Academie des Sciences en 1811 y publicado en parte como la celebre Theorie analytique de la chaleur en 1822. Fourier hizo un intento seriopor demostrar que cualquier función diferenciable puede ser expandida en una serie trigonométrica. Una prueba satisfactoria de este hecho fue dada por Dirichlet en 1829. Riemann también hizo contribuciones importantes al problema.

1.2 Transformada continúa de Fourier.
Si admite un desarrollo

Si definimos como un periodo :
es de longitud finita.
no es periódica.
no tendrá desarrolloen FS.
Sin embargo podemos interpretar


Donde
Si sustituimos en la expresión de síntesis

A continuación la interpretación gráfica:

Ecuación de análisis:

Y esta es la transformada o integral de Fourier.
Ahora con la ecuación de síntesis obtenemos lo siguiente:

A lo que resulta la transformada inversa de Fourier.

1.3 Transformada discreta de Fourier.
Una secuenciaperiódica puede ser representada por series de Fourier. Con la correcta interpretación, la misma representación puede ser aplicada a secuencias de duración finita. La representación de Fourier resultante para secuencias de duración finita es lo que se conoce como la transformada discreta de Fourier (TDF).

Se puede representar una secuencia de duración finita de largo N por una secuencia periódica conperiodo N, un periodo de la cual es idéntica a la secuencia de duración finita.

Consideremos una secuencia de duración finita de largo N de forma que excepto en el intervalo . Claramente una secuencia de largo M menor que N también puede considerarse de largo N, teniendo amplitud cero los ´últimos puntos del intervalo. La secuencia periódica correspondiente de periodo N, para la cual es unperiodo, será denotada por y está dada por


Dado que es de largo finito N no hay sobrelapamiento entre los términos para diferentes valores de r. Así, la ecuación anterior puede ser escrita alternativamente como


donde % indica la operación módulo. La secuencia de duración finita es obtenida a partir de extrayendo un periodo; i.e.



Por conveniencia en la notación, es útil...