Procesos estocasticos en derivados

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PROCESOS ESTOCASTICOS

Un entendimiento de los procesos estocásticos es el primer paso para entender la valorización de una opción y otros productos financieros derivados más complicados, por lo que primeramente daremos un resumen necesario del cálculo de probabilidades así como algunos resultados importantes del lema de Ito. Resulta curioso señalar que la mayor parte de los resultadosnecesarios no tienen sus origines en la teoría financiera tradicional, sino en el trabajo de Einstein y Smoluchowski a principios del siglo sobre “Brownian motion“ (el movimiento aleatorio de pequeñas partículas de polvo o de polen suspendidas en un gas) y la teoría cinética de los gases, aunque el lema de Ito es un resultado más reciente.

Una variable cuyo valor cambia en el tiempo de maneraaleatoria (o por lo menos parcialmente aleatoria) está siguiendo un proceso estocástico, ejemplos: el resultado en un juego de azar, el precio de una acción, el número de manchas solares en un día, la temperatura diurna, etc. Los primeros trabajos de Einsten sobre el tema tuvieron su origen el estudio de movimiento aleatorio de partículas muy finas de polvo suspendidas en el aire, pero los resultadosobtenidos son aplicables en muchas otras áreas.

Hablando sin rigor, una variable escolástica (o variable aleatoria), es una función cuyos valores son números reales y dependen del azar; con más precisión, es una función X que se asocia con un experimento aleatorio y tiene las siguientes propiedades:

1.- X se define en el espacio muestral S del experimento, y sus valores son númerosreales.

2.- Sea a cualquier número real, y sea I cualquier intervalo. Entonces, el conjunto de todos los resultados en S para los que X = a tiene una probabilidad bien definida, y lo mismo se cumple para todos los resultados en S en donde los valores de X están en I.

Estas probabilidades concuerdan con los axiomas de probabilidad que daremos a continuación.

Axiomas de Probabilidadmatemática.

1.- Si E es un evento cualquiera en un espacio muestral S, entonces

[pic].

2.- Al espacio muestral S completo le corresponde

P ( S ) = 1

3.- Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces se cumple

[pic]

4.- Si [pic] son eventos mutuamente exclusivos, entonces tenemos que

[pic]

Es conveniente definir las variables estocásticas comodiscretas o continuas, por lo que diremos que una variable estocástica X y la distribución de probabilidad correspondiente son discretas, si X tiene las siguientes propiedades:

1.- El número de valores para los cuales X tiene una probabilidad positiva es finito, o a lo más infinito numerable.

2.- Cada intervalo finito en la escala de números reales contiene a lo más un numerofinito de los valores de X. Si un intervalo [pic] no contiene ni uno solo de esos valores, entonces
[pic].

Se dice que una variable aleatoria X y la distribución correspondiente son del tipo continuo o, más brevemente, continuas, si la función de distribución correspondiente
[pic] se puede representar según una integral de la forma [pic] donde el integrando es continuo, excepto porun numero finito de valores de v.

Un ejemplo de variable discreta puede ser el obtenido al lanzar un dado, ya que los únicos resultados posibles son los números enteros 1, 2, 3, 4, 5 y 6, nunca podrá salir un numero 4.25.

Un ejemplo de una variable continua puede ser la temperatura diurna al medio día.

En general , los activos financieros suelen seguir procesos de variable discreta, peroes frecuente tratarlos como si fuesen de variable continua porque en la practica los movimiento mínimos permitidos son tan pequeños que importa poco la distinción. En cuanto al tiempo, podría decirse que los activos financieros siguen procesos de tiempo discreto también, ya que casi todos los mercados cierran al menos una vez al día y durante este tiempo los precios no pueden cambiar, aunque...
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