Procesos estocasticos

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El proceso que más comúnmente se utiliza para medir el número de reclamaciones es el proceso Poisson.

[Comentario sobre las compañías aseguradoras y su necesidad de medir tanto los tiempos de ocurrencia de los siniestros como los montos de estos..]

Definiciones:

Proceso Estocástico

Es una colección de variables aleatorias { x(t): t є T } definidas sobre el mismo espacio deprobabilidad, donde para cada t є T existe una variable aleatoria x(t).

T se define como el espacio parametral.
t se define como el parámetro, casi siempre es el tiempo.

Por lo anterior , se concluye que un proceso estocástico estudia un fenómeno aleatorio a lo largo del tiempo

Proceso Poisson

Es un proceso estocástico N = N(t) con t ≥ 0 que cumple con las siguientes condiciones:

(1) Elproceso comienza en cero:
N(0) = 0

(2) El proceso tiene incrementos independientes:
Para cualquier momento ti, i = 0,1,..,n y n ≥ 1, los incrementos N( ti-1, t ], i = 0,1,..,n, son mutuamente excluyentes.

(3) Existe una función continua por la derecha, no decreciente μ : [0, ∞) → [0, ∞) con μ(0) tal que los incrementos N( s, t ] para 0 < s < t < ∞ tienen una distribución Poisson ( μ( s, t ] ).A μ se le conoce como la función de valor medio.

(4) Los trayectos de la muestra N(t,w) con t ≥ 0 del proceso N son continuos por la derecha para t ≥ 0 y tienen limites por la izquierda para t > 0.
A esta condición se le conoce como trayectos de la muestra càdlàg (continue à droite, limites à gauche).

Proceso Poisson Homogéneo

Es un proceso Poisson cuya función de valor medio μ es unafunción linear:
μ(t) = λt, t ≥ 0, para cualquier λ > 0.

Para este proceso en específico (en el que λ > 0) la función μ es continua.
Con P[ x(s+t) – x(s) = k ] = e- λt ( [ λt ]k / k! )

λ es la intensidad o tasa del proceso Poisson Homogéneo.

En un proceso Poisson Homogéneo el tiempo evoluciona linealmente: μ( s, t ] = μ( s+h, t+h ], para cualquier lapso h > 0 y 0 ≤ s < t < ∞. Loanterior nos dice que las ocurrencias del evento estudiado se realizan, aproximadamente, uniformemente en el tiempo.

Observaciones:
• x(s+t) – x(s) ~ Poisson( λt )
• x(t) = x(t) – x(0) ~ Poisson( λt )
• E[ x(t) ] = λt ; Var[ x(t) ] = λt 
• x(t) : Número de ocurrencias de cierto evento en el tiempo t.
• λ = E[ x(1) ] : Número promedio de ocurrencias en una unidad detiempo
= Número de ocurrencias
Unidad de tiempo

[Para el fin que se persigue: aplicar la teoría de un proceso Poisson Homogéneo a la teoría de seguros. ¿Qué tan viable es utilizar λ fija? Pues la tasa de siniestralidad (número de siniestros por alguna unidad de tiempo) no se mantiene a lo largo del tiempo o entre diferentes lugares o compañías aseguradoras]

Un proceso PoissonHomogéneo con intensidad λ, tiene:
(1) Los trayectos de la muestra son càdlàg.
(2) Comienza en cero.
(3) Tiene incrementos independientes y estacionarios.
(4) N(t) se distribuye Poisson(λt) para toda t > 0.

Incremento estacionario
Se refiere al hecho de que para cualquier 0 ≤ s < t y h > 0,
N( s, t ] = N( s+h, t+h ] ~ Poisson( λ(t-s) )

Es decir, en un mismo lapso de tiempo, sin importarel momento en el que ocurra, el proceso N se distribuye igual.
Un incremento solo depende de la longitud del intervalo y no del punto donde se encuentre.

El Modelo Cramér-Lundberg aplicado a la teoría matemática de los seguros

Se define el número de ocurrencias como la cantidad de reclamaciones (siniestros) ocurridos dentro de un proceso Poisson Homogéneo, y se estudian las reclamacionesocurridas en combinación con el tamaño, en monto, de estas.

• Las reclamaciones suceden al tiempo de ocurrencia 0 ≤ T1 ≤ T2 ≤ ··· de un proceso Poisson Homogéneo N(t) = #{i ≥ 1 : Ti ≤ t}, t ≥ 0.
• La i-ésima reclamación ocurrida al tiempo Ti causa el monto reclamado Xi. La serie (Xi) es una secuencia independiente e idénticamente distribuida de variables aleatorias no-negativas.
•...
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