procesos infinitos

2. Proceso infinito: La noción de proceso infinito se centra en una operación iterativa e ilimitada, es decir, que por muy grande que sea el número de veces que se realiza el proce-so, siempre esposible efectuar uno más, y otro más, y así sucesivamente, hasta el infinito.
Ejemplo 1.2
Considerando como etapa 0 un segmento de recta, aplicar como transformación iterativa: dividir el segmento entres segmen-tos congruentes (de la misma longitud) y eliminar el segmento central.
Este proceso es infinito y produce como resultado final un conjunto infinito de puntos conocido como el Conjuntode Cantor, en la figura siguiente se tiene el resultado (etapa 1) de aplicar la transformación a la etapa 0.

(Etapas 0 y 1)
Si ahora aplicamos la transformación a los dos segmentos obtenidos en laetapa 1, obtenemos como resultado en la etapa 2 los cuatro segmentos mostrados en la última fila de la figura siguiente:

(Etapas 0,1 y 2)
Si a continuación aplicamos a cada uno de los segmentos dela etapa 2 la transformación, obtendremos como resultado en la etapa 3, los 8 segmentos mos-trados en la última fila de la figura que sigue.

(Etapas 0,1, 2 y 3)
Y podemos proceder asísucesivamente hasta el infinito.

P1. ¿Cuántos segmentos se obtendrán como resultado en la etapa 4?

P2. ¿Y en la etapa 5?


¿Cuántos segmentos habrá cuando el número de etapas tienda al infinito?Para responder primero tendremos que determinar el número de segmentos en la enésima etapa, para lo cual observamos que todos los resultados hasta la etapa 5, son potencias de 2:

P3. ¿Cuántossegmentos habrá en la etapa ? n

Ahora sí podemos determinar el número de segmentos cuando el número de etapas tienda al infinito, esto es, cuando , recuerda que esto último se simboliza . ntiende alinfiniton

Ejemplo 1.3
Sabemos que un número decimal infinito periódico repre-senta un número racional, ¿cuál es número racional corres-pondiente al decimal infinito periódico ? 0.3
El número...