procesos

Páginas: 4 (804 palabras) Publicado: 11 de mayo de 2013
Procesos estocásticos 1. Cuarta lista de ejercicios
1. Sea P la matriz de una cadena irreducible
b
a) Demuestra que P = (I + P) =2 es aperiódica.

b) Usa lo anterior para demostrar que P tiene alo más una distribución invariante.

2. Sea P una matriz estocástica …nita. Demuestra que v es una distribución invariante
para P si y sólo si v (I P + A) = a; donde todos los elementos de lamatriz cudrada
A son 1 y todos los elementos del vector a son 1: Nota que esto te permite encontrar
distribuciones invariantes v invirtiendo la matriz (I P + A) :
3. Considera la cadena de Markov cuyamatriz de transición es
1

2

3

4

2
3
1
0
0 3=5 2=5
2 6 0
0 1=5 4=57
6
7
P=
41=4 3=4 0
3
0 5
4 1=2 1=2 0
0

a) Encuentra la distribución invariante de P. b) Calcula P2 : c)Encuentra limn!1 p2n (i; i) :
d) Compara los resultados de los incisos (a) y (c) y analízalos.
4. Considera una cadena de Markov con espacio de estados S = f0; 1; 2; 3; : : : g y probabilidad detransición
1
2
1
p (m; m 1) =
2
p (0; 0) = 1
p (m; m + 1) =

1
m+2
1
1+
m+2
p0;1 = 3=4:
1

para m

0

para m

1

Encuentra la distribución invariante v:
5. Considera una cadenade Markov con espacio de estados S = f1; 2; 3; : : : g y probabilidad de transición
m
para m
2m + 2
m+2
p (m; m 1) =
para m
2m + 2
p (1; 1) = 1 p (1; 2) = 3=4:
p (m; m + 1) =

1
2Demuestra que no tiene distribución invariante.
6. Considera una cadena sobre S = f0; 1; 2; 3; : : : g en la que para n 0 un individuo se
vuelve un día más viejo, de n a n + 1 días de edad, conprobabilidad pn , o bien muere
y regresa a la edad 0 con probabilidad 1 pn
1

(a) Encuentra condiciones que garanticen que 0 es: i) recurrente, ii) recurrente positivo
(b) Encuentra una distribucióninvariante
7. Una partícula se mueve entre los ocho vértices de un cubo. En cada paso la partícula
puede pasar a cualquiera de los tres vértices adyacentes a aquel en el que se encuentra
con la misma...
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