Producto Cartesiano
Páginas: 7 (1576 palabras)
Publicado: 16 de julio de 2012
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
Ejemplo:
Sea los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} se tiene:
AXB={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5) ,(3,6)}
El producto cartesiano AXB no esigual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes, entonces los elementos del producto cartesiano de la forma (a,a), se les llama elementos diagonales.
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma simbólica como A2.
Si el producto cartesiano lo forman más de dos conjuntos los elementos del producto cartesiano lo formarangrupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto, otro del segundo otro del tercero y así hasta llegar al ultimo.
Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la representación cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares, en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A yen el eje vertical los elementos del conjunto B,los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepción que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal.
Ver la representación del ejemplo
Para saber el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el diagramade árbol
tenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de elementos del conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el número de elementos de un producto cartesiano formado por n conjuntos, multiplicando el número de elementos de cada uno de los conjuntos que intervienen
card(AXB....Z)=card(A)card(B).....Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamoscorrespondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra f, a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB.
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
Elementos homólogos
Se dice que dos elementos a, b son homólogos en la correspondencia f cuando el par (a, b) pertenece al subconjunto. es decir:
Siendo G el subconjunto.
La primera componente del par(a,b) que pertenece a G se llama elemento original, mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen. Cuando b es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial.
Llamaremos así al conjunto A
Conjunto final.
Es el conjunto B
Conjunto original.
Se llama conjunto original, y lo designaremos por orig(f) al conjuntoformados por todos los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f.
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen,y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los elementos de B que son elementos imágenes por la correspondencia f.
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto.
Correspondencia inversa
Se llamacorrespondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo:
Sea f la correspondencia definida por el grafo:
G={(a,1),(a,2),(b,3),(c,5)}
La correspondencia inversa f-1 será:
G-1={(1,a),(2,a),(3,b),(5,c)}
Aplicaciones
Se llama aplicación entre los conjuntos A y B a lacorrespondencia de A en B tal que:
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento es único
Aplicación suprayectiva
Se llama así una aplicación donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen: esto es, cuando todos los elementos de B son elementos imágenes de algú elemento de A.
f suprayectiva equivale a Card(A) es mayor o igual a Card(B)
Aplicación...
Ejemplo:
Sea los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} se tiene:
AXB={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5) ,(3,6)}
El producto cartesiano AXB no esigual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes, entonces los elementos del producto cartesiano de la forma (a,a), se les llama elementos diagonales.
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma simbólica como A2.
Si el producto cartesiano lo forman más de dos conjuntos los elementos del producto cartesiano lo formarangrupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto, otro del segundo otro del tercero y así hasta llegar al ultimo.
Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la representación cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares, en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A yen el eje vertical los elementos del conjunto B,los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepción que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal.
Ver la representación del ejemplo
Para saber el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el diagramade árbol
tenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de elementos del conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el número de elementos de un producto cartesiano formado por n conjuntos, multiplicando el número de elementos de cada uno de los conjuntos que intervienen
card(AXB....Z)=card(A)card(B).....Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamoscorrespondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra f, a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB.
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
Elementos homólogos
Se dice que dos elementos a, b son homólogos en la correspondencia f cuando el par (a, b) pertenece al subconjunto. es decir:
Siendo G el subconjunto.
La primera componente del par(a,b) que pertenece a G se llama elemento original, mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen. Cuando b es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial.
Llamaremos así al conjunto A
Conjunto final.
Es el conjunto B
Conjunto original.
Se llama conjunto original, y lo designaremos por orig(f) al conjuntoformados por todos los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f.
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen,y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los elementos de B que son elementos imágenes por la correspondencia f.
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto.
Correspondencia inversa
Se llamacorrespondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo:
Sea f la correspondencia definida por el grafo:
G={(a,1),(a,2),(b,3),(c,5)}
La correspondencia inversa f-1 será:
G-1={(1,a),(2,a),(3,b),(5,c)}
Aplicaciones
Se llama aplicación entre los conjuntos A y B a lacorrespondencia de A en B tal que:
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento es único
Aplicación suprayectiva
Se llama así una aplicación donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen: esto es, cuando todos los elementos de B son elementos imágenes de algú elemento de A.
f suprayectiva equivale a Card(A) es mayor o igual a Card(B)
Aplicación...
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