Producto escalar

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Producto escalar
Definición general de producto escalar
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma sesquilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una aplicación donde V es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el que estádefinido V. debe satisfacer las siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda: , y linealidad conjugada por la derecha:
2. Hermiticidad: ,
3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,
donde son vectores de V, representan escalares del cuerpo y es el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en serbilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por o por .
Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.
Todo producto escalar induce una normasobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:


Definición geométrica del producto escalar
A•B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.
El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman.

En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar esEsta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.
Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es A cos θ = proy AB, será

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno deellos por la proyección del otro sobre él.
La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores:

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.

ya que el valor del coseno de 90º es cero.
Dos vectores son paralelos ollevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o de 180 grados.
Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

Propiedades del producto escalar
1. CONMUTATIVA:

2. DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA VECTORIAL:

3. ASOCIATIVA RESPECTO AL PRODUCTO POR UN ESCALAR M:Angulo entre dos vectores
La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores:

Vectores octogonales
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.

ya que el valor del coseno de 90º es cero.
Vectoresparalelos o en una misma dirección
Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o de 180 grados.
Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.


Producto vectorial
En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dosvectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

Definicion
Relaciones entre los vectores.
Sean dos vectores y en el espacio vectorial . El producto...
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