Producto escalar

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PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL

PRODUCTO ESCALAR

Cuando se multiplica una cantidad vectorial por otra cantidad vectorial, se debe distinguir entre el producto escalar, que se representa por un punto y el producto vectorial que se representa con una cruz.

El producto escalar de dos vectores a y b se escribe a · b, y se define así:

a · b = abcos φ Ecuación 1.11

siendo a la magnitud del vector a, b la magnitud del vector b, y cos φ el coseno del ángulo φ que forman los dos vectores. La representación gráfica de este producto la tenemos en la figura 1.18 siguiente:



Figura 1.18 a
El producto escalar a·b (= ab cos φ)es el producto de la magnitud de cualquiera de b cos φ
los vectores (digamos el a) por la componente
del otro vector en la dirección del primer vector
(digamos b cos φ).φ

a cos φ b

Puesto que a y b son escalares y cos φ es un número abstracto, el productoescalar de dos vectores es un escalar.

El producto escalar de dos vectores se puede considerar como el producto de la magnitud de un vector y la componente del otro vector en la dirección del primero.

En ocasiones a este producto se le conoce como “a punto b”, debido a su propia notación.

Observaciones importantes acerca del producto escalar de dos vectores:

*Hay dos ángulos diferentes entre un par de vectores, según el sentido de la rotación. En la multiplicación de vectores siempre escogemos el menor de los dos.

* Con esta definición del producto escalar, un buen número de cantidades físicas importantes se pueden describir como el producto escalar de dos vectores; por ejemplo: trabajo mecánico, energía potencial gravitacional, potencialeléctrico, potencia eléctrica, y densidad de energía electromagnética.


PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR:

a) Si dos vectores tienen la misma dirección, su producto escalar es el producto de sus módulos o magnitudes con signo + o –, según que tengan el mismo u opuesto sentido.
Esto lo podemos ver de la siguiente manera:


uv u · v = u v cos 0º = u v

Figura 1.19a ya que cos 0º = 1

u v
u · v = u v cos 180º= – u v
Figura 1.19b
ya que cos 180º = –1


b) El producto escalar de un vector por sí mismo, es igual al cuadrado de su módulo o magnitud:

u · u = u u · cos 0º = u · u = u2c) El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero:




u Figura 1.20 u · v = u v cos 90º = 0

90º ya que cos 90º = 0
v


Corolario: Dados dos vectores u = (a, b) y...
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