Producto escalar

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Producto escalar
En matemáticas el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar.
Un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial sobre el que se ha definido un producto escalar. Si el espacio es de dimensión finita se trata de un espacio euclídeo.
Definición paraespacios euclídeos reales
El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman. El resultado es siempre una magnitud escalar. Se representa por un punto centrado:

Siendo esta definición de naturaleza puramente geométrica, es independiente del sistema de coordenadas elegido. El producto escalar de dos vectores es unnúmero (escalar) y, si ninguno de los vectores es nulo, dicho producto será un número positivo, nulo o negativo, según que el ángulo formado por los dos vectores (0≤θ≤π) sea agudo, recto u obtuso.
Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es A cos θ = proy AB, será

de modo que el producto escalar de dos vectores también puededefinirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.

Propiedades del producto escalar
1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:

4. Ya que no se ha definido (el signo se usa sólo entre vectores) lapropiedad asociativa no ha lugar a considerarla. Obsérvese, sin embargo, que en general es

5. Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0), y viceversa

Esta relación expresa la condición de perpendicularidad entre dos vectores. Obsérvese, que el producto escalar de dos vectores puede ser nulo sin que lo sean uno ni otro vector.
6. En particular, para los vectoresunitarios cartesianos tenemos:

7. Expresión analítica del producto escalar:
Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, o sea,

entonces, teniendo en cuenta las propiedades anteriores, se tiene

de modo que el producto escalar de dos vectores es igual a la suma de los productos de las componentes cartesianas rectangulares correspondientes.
8. Elmódulo del vector es:

o sea

9. Ángulo formado por dos vectores: De la definición del producto escalar se sigue la expresión

que nos permite determinar el ángulo formado por dos vectores dados.
10. El producto escalar de dos vectores no tienen operación inversa; esto es, si , no existe una solución única para . Dividir por un vector es una operación sin definir y carente de sentido.Productos interiores definidos en espacios vectoriales
En el espacio vectorial se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:

En el espacio vectorial se suele definir el producto interior por:

En el espacio vectorial de las matrices de mxn elementos

donde tr es la traza de la matriz.
En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre elintervalo acotado por a y b (C[a, b])

Dado tal que , en el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:

De manera similar a como se definen los productos interiores anteriores, se puede definir cualquier otro con la condición de que únicamente debe satisfacer la definición de un producto interior.
Definición general
El producto interior o producto escalar de dosvectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.
Una operación donde V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido, que tiene que cumplir:
1. (lineal en el primer componente),
2. (hermítica),
3. , y si y sólo si x = 0 (definida positiva),
donde x,y,z son...
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