Producto interno bases ortonormales

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Funciones de un espacio vectorial, y producto escalar o interno.
Todos sabemos que  es una función de x,y,z (coordenadas cartesianas, o los ejes de un espacio de tres dimensiones), si para cualquiervalor de estas variables existe un valor de alfa 
| (1.2) |

El dominio de existencia de una función es el rango de valores de las variables independientes, para los cuales está definida dichafunción, p.e.

Definiremos el producto interno de dos funciones (de las mismas variables y con el mismo rango de existencia) a la integral en todo el dominio para el que están definidas, del productode la conjugada compleja de la primera por la segunda. A este producto lo escribiremos como  y se puede escribir como: 
| (1.3) |

donde  es el complejo conjugado de .
Esta notación, esconocida como notación de Dirac, o de BRA  y de KET .
Daros cuenta de que este producto interno no tiene por que ser conmutativo 
| (1.4) |

Al producto interno de una función consigo misma es a lo quese denomina Norma de dicha función: .
Una función Normalizada tiene por norma la unidad: 
Lógicamente, si la función  no está normalizada,  sí lo estará. (La norma siempre es positiva y comoconstante de normalización se toma la raíz positiva). 
|   |   | (1.5) |
|   |   | (1.6) |

Otra característica interesante es analizar las siguientes expresiones: 
|   |   | (1.7) |
|   |   |(1.8) |

donde  es una constante.
Se dice que dos funciones son Ortogonales si su producto interno es nulo (cero): 
Si tenemos un conjunto de funciones no ortogonales podemos transformarlas enotro que sí lo sea, un método para ello es el de Schmidt, según el cual, si tenemos el conjunto de funciones , tal que , podemos pasar al conjunto  ortonormal, del siguiente modo:
Hagamos  y . Paracalcular , utilicemos la ecuación:  
| (1.9) |

por lo que , y 
Para  ; y para obtener b y c tendríamos dos ecuaciones: 
| (1.10) |

Y así sucesivamente.
La siguiente definición es la...
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