Producto notable

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
ALDEA “LETICIA MUDARRA DE LÓPEZ”
MISIÓN SUCRE
MARACAY EDO. ARAGUA

TRABAJO DE MATEMÁTICAS

Maracay, Enero de 2010
Definición Producto Notable
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas".Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :
Propiedades de los Productos Notables
1. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

2. Binomio de Suma al Cuadrado
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
3. Binomio Diferencia al Cuadrado
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
4. Diferencia de Cuadrados
( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
5. Binomio Suma al Cubo
( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
6. Binomio Diferencia al Cubo
a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)
7. Suma de dos Cubos
- Diferencia de Cubos
a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
- Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio
( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab +bc + ac)
- Trinomio Suma al Cubo
( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)
- Identidades de Legendre
( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)
( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab
- Producto de dos binomios que tienen un término común
( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Ejemplos:
1. [pic]
Solución:
Aplicando productonotable en "a" que es una suma de binomios
x2 – 2x + 1 = ( x – 1)2
Luego : ( x – 1)2 (x2 + x + 1)2 + (x3 + 1)2
[pic]
Aplicando en "d" diferencia de cubos, tenemos:
(x3 – 1)2 + (x2 + 1)2
(x3)2 - 2x3 (1) + 1 + (x3)2 + 2x3 (1) + 1
(x3)2 + (x3)2 + 2 = 2 (x3)2 + 2
= 2x6 + 2 = 2 (x6 + 1)

2.
x2 – 2x + 1) ( x2 + x + 1)2 + ( x3 + 1)2
M =( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12
Solución
Ordenando los productos notables tenemos :
( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12
Aplicando : cubo de la suma de un binomio en " * ", tenemos :
( a + b ) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
Aplicando el producto de suma de cubos en : "* *", tenemos :
( a2 + b2 ) (a4 – a2 b2 + b4) = a6 +b6
Remplazando en la expresión inicial tenemos :
( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12
Ordenando los factores tenemos :
( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12
Aplicando productos notables en "¨ " :
( a6 + b6 ) ( a6 + b6 ) = a12 – b12 + b12 = 12.

3.
[pic]
Solución
Desarrollando las potencias mediante productos notables tenemos :
[pic]
Simplificando yreduciendo términos semejantes tenemos :
[pic]
[pic]
[pic]
Racionalización
Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el  numerador y el denominador por la expresión adecuada, de forma que al  operar desaparezca la raíz del denominador.

Racionalización de un MonomioPara racionalizar un monomio de este tipo se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.

Ejemplo:

[pic]
En este caso hay que multiplicar numerador y denominador por [pic]

[pic]x [pic]= [pic]
Después se despeja la raíz cuadrada del denominador ya que la cantidad subradical que es 2 elevada al cuadrado puede eliminar o despejarla raíz cuadrada:

[pic]= [pic]
El resultado del ejercicio es éste, aunque se puede simplificar el número entero del numerador entre el del denominador, así:
[pic]= [pic]

Racionalización de Binomio
Para racionalizar un binomio , se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y denominador de la fracción por el denominador de la misma....
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