Producto Vectorial En R3



UNIVERSIDAD
NACIONAL DE INGENIERÍA
Facultad de Ingeniería Mecánica




Curso
Álgebra Lineal
Docente
Emilio Luque

Nombres

Orellana Solis, José Alejandro 20141204F
Inca Espinoza, Josué Rodolfo 20141024H
Miranda Saravia, Christian 20141197J
Oscuvilca Egoavil, Brandon Brayan 20142600B
sección
“A”


UNI 2015-I

Índice

1. Producto vectorial R3
2. Triple producto escalar
3. Combinación linealde vectores
4. Dependencia e independencia lineal de vectores
5. Ejercicios
6. Bibliografía

Producto vectorial en R3
Definición:
Sean , entonces el producto vectorial de y , denotado por , es un nuevo vector definido por

Aquí el producto vectorial parece estar definido de manera arbitraria. Es evidente que existen muchas maneras de definir un producto vectorial.
Ejemplo: Calcule el productovectorial de dos vectores
Sean .
Calcule
Solución

Nota: este ejemplo , de manera similar . Es decir, es ortogonal tanto a como a . Como se verá en breve el producto vectorial de es siempre ortogonal a .
Antes de continuar el estudio de las aplicaciones del producto vectorial se observa que existe una forma sencilla de calcular usando determinantes.
Teorema 1

Demostración

Que es igual asegún la definición:
Ejemplo
Calcule el producto vectorial , donde
Solución

Teorema 2
Sea u tres vectores en y sea un escalar. Entonces:







Se sabe que es un vector ortogonal a y a , pero siempre habrá dos vectores unitarios ortogonales a (ver figura 4.27). Los vectores unitarios n y –n (n por la letra inicial de normal) son ambos ortogonales a (ver la figura 4.28) ¿Cuál es ladirección de ? La respuesta está dada por la regla de la mano derecha. Si se coloca la mano derecha de manera que el índice apunte a la dirección de y el dedo medio en la dirección de .
Una vez que se ha estudiado la dirección del vector , la dirección se dirige a su magnitud.


Teorema 3
Si es un ángulo entre , entonces:

Demostración
No es difícil demostrar (comparando coordenadas) que . Entoncescomo


Y el teorema queda demostrado después de sacar la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación. Observar que porque
Existe una interpretación geométrica. Los vectores están dibujados en la figura 4.29 y se puede pensar que son dos lados adyacentes de un paralelogramo. Entonces de la geometría elemental se ve que
El área del paralelogramo que tiene lados adyacentes es igual aEjemplo:
Cálculo del área del paralelogramo con vértices consecutivos en

Solución

Interpretación geométrica de los determinantes de
Sea A una matriz de y sean dos vectores de componentes. Sean y
El área generada por se define como el área del paralelogramo dado en la figura. Se puede pensar que son vectores en R3 que están en el plano xy. Entonces , y el área generada por

Ahora sea EntoncesCOMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Dados dos vectores: y dos números:, el vector se dice que es una combinación lineal de
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.


Ejemplo 1: Dados los vectores , hallar el vector combinación lineal

Ejemplo 2: El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal delos vectores ?





DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES
Independencia Lineal
Se dice que un conjunto finito de vectores {V1, V2, V3,…, Vr } de V es linealmente dependiente(o que los vectores V1, V2, V3,…, Vr son linealmente dependientes), lo cual se puede abreviar l.d., si existen escalares a1, a2, a3,…, ar, no todos nulos, tales que
a1V1 + a2V2 + a3V3 +…+ arVr =
Por ejemplo, (1,2),(-2,-4) son l.d. en R2, pues
2(1,2) + (-2,-4) = (0,0) =
También (1,-1,2), (2,-3,1), (0,-1,-3) son l.d. en R3, pues
2(1,-1,2) - (2,-3,1) + (0,-1,-3) = (0, 0,0) =
Definición. Se dice que los vectores V1, V2, V3,…, Vr son linealmente independientes (y se abrevia l.i) si la ecuación
a1V1 + a2V2 + a3V3 +…+ arVr =
tiene solución única, la cual es
a1= a2= a3=…= ar =
Dicho de otra manera V1, V2,...