Productos notables

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PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN.

• Productos Notables:
Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares, cumplen ciertas reglas fijas; es decir, el su resultado puede se escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación.

1. Cuadrado de una suma de dos términos ocantidades.
[pic]
2. Cuadrado de una diferencia de dos términos o cantidades
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3. Producto de una suma de dos términos por su diferencia.
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4. Producto de dos binomios que tienen un término en común.
[pic]
5. Producto de dos binomios de la forma: [pic]
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6. Cubo de un binomio.
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• Factorización: es el procesode encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores.

• Factorización por factor común: se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del polinomio por el F.C.CASO I: Factor común monomio:

1. Descomponer en factores a 2 + 2a

a 2 y 2a contienen el factor común a . Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes obtenidos de dividir a 2 ÷ a = a y 2a ÷ a = 2 y tendremos:

a 2 + 2a = a (a + 2)

2. Descomponer 10b - 30ab.

Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10.Tomamos el 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b, porque está en los dos términos de la expresión da-da, y la tomamos con su menor exponente b.

El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis dentro del cual ponemos los cocientes de dividir 10b ÷ 10b = 1 y - 30ab 2 ÷ 10b = - 3ab , y tendremos:

10b - 3ab 2 = 10b (1- 3ab )

3. Descomponer 10a 2 - 5a + 15a 3

El factor común es 5a. Tendremos:

10a 2 - 5a + 15a 3 = 5a (2a - 1 + 3a 2)

4. Descomponer:

18mxy 2 - 54m 2x 2y 2 + 36 my 2

El factor común es 18 my 2. Tendremos:

18mxy 2 - 54m 2x 2y 2 + 36my 2 =

18my 2(x - 3mx 2 + 2)

5. Factorar 6x y 3 - 9nx 2y 3 + 12nx 3y 3 - 3n 2x 4y 3

El factor común es 3x y 3. Tendremos:

6x y 3- 9nx 2y 3 + 12nx 3y 3 + 3n 2x 4y 3 =

3x y 3(2 - 3nx + 4nx 2 - n 2x 3)

Prueba general de los factores

Para hacer la prueba en cualquiera de los diez casos que estudiaremos en este capítulo, basta multiplicar los factores obtenidos y su producto debe ser igual a la expresión factorada.

CASO II: Factor común polinomio:

1. Descomponer x (a + b ) + m (a + b )

Estos dos términostienen como factor común el binomio (a + b ), por lo que ponemos (a + b ) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b ), o sea:

[pic] y tendremos:

x (a + b ) + m (a + b ) = (a + b )(x + m )

2. Descomponer 2x (a - 1) - y (a - 1)

El factor común es (a - 1), por loque al dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a - 1), con lo que tenemos:

[pic]

Luego tendremos:

2x (a - 1) - y (a - 1) = (a - 1)(2x - y )

CASO III: Factor común por agrupación de términos:

Ejemplos

1) Descomponer ax + bx + ay + by

Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y .Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo (+) :

ax + bx + ay + by = (ax + bx ) + (ay + by )

= x (a + b ) + y (a + b )

= (a + b )(x + y )

Hay varias formas de hacer la agrupación, con la condición de que los dos términos agrupados tengan algún factor común, y...
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