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TEMA 2 – SUCESIONES

2.1 – CONCEPTO DE SUCESIÓN


DEFINICIÓN DE SUCESIÓN

Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero,....

Los elementos de la sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante una letra con los subíndices correspondientes a los lugares que ocupan en la sucesión:
a1, a2, a3, ....TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN

Se llama término general de una sucesión, y se simboliza con an, al término que representa uno cualquiera de ella.

- Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula:
an = f(n). Dándole a n un cierto valor natural, se obtiene el término correspondiente.
- En otras sucesiones, para hallar un término es necesario operar condos o más de los
anteriores y se llaman sucesiones recurrentes. Para hallar un término concreto hay que obtener, previamente, todos los anteriores.



2.2 – ALGUNAS SUCESIONES IMPORTANTES


PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Definición: Una progresión aritmética es una sucesión en la que se pasa de cada término al siguiente sumando una cantidad fija, llamada diferencia de la progresión.Término general, an, de una progresión aritmética cuyo primer término es a1 y cuya diferencia es d se obtiene así: an = a1 + (n-1)d

Suma de los n-primeros términos de una progresión aritmética es:
a 1 a n n
Sn = a1 + a2 + .... + an =
2

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Definición: Una progresión geométrica es una sucesión en la que se pasa de cada término al siguiente multiplicando poruna cantidad fija, llamada razón de la progresión.

Término general, an, de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 y cuya razón es r se obtiene así: an = a1.rn-1


Suma de los n-primeros términos de una progresión geométrica con r 1 es:
n

Sn = a1 + a2 + .... + an =
a n .r a 1
a 1 .r a 1
r 1 r 1

Suma de infinitos términos de unaprogresión geométrica en la que |r| < 1 es:
S = a 1
1 r

SUCESIONES DE POTENCIAS

Nos encontramos con frecuencia sucesiones del tipo 1m, 2m, 3m,...., nm
(Cuadrados, cubos, raíces). Son especialmente importantes:

- La suma de los n primeros cuadrados: 12 + 22 + .... + n2 =
n.(n 1).(2n 1)
6
2 2
- La suma de los n primeros cubos: 13 + 23 + .... + n3 =
n .(n1)
4

SUCESIÓN DE FIBONACCI

La sucesión de Fibonacci es una sucesión recurrente donde cada término se obtiene sumando los dos anteriores:
a1 = 1 a2 = 1 an = an-2 + an-1

CÁLCULO DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN

Progresión aritmética : es una sucesión numérica en la que cada término es igual al anterior más la diferencia. Designando por d a dichadiferencia: an = a1 + (n - 1).d

Progresión geométrica : es una sucesión numérica en la que cada término es igual al anterior por la razón, que designamos por r: an = a1.rn-1

Sucesiones especiales:

- Números pares: 2, 4, 6, 8, 10, ..... an = 2n
- Números impares : 1, 3, 5, 7, 9, .... an = 2n - 1
- Los cuadrados : 1, 4, 9, 16, 25, .... an = n2
- Loscubos: 1, 8, 27, 81, 125, .... an = n3
- Potencias: 2, 4, 8, 16,...... an = 2n
- Sucesiones que cambian de signo:
-1, 1, -1, 1, -1, ...... an = (-1)n
1, -1, 1, -1, 1, ..... an = (-1)n+1 = (-1)n-1

Planteando un sistema : Ir calculando la diferencia entre los términos consecutivos de la sucesión hasta que estadiferencia sea constante. El número de veces que tenga que realizar lo anterior me da el grado de la sucesión. Planteando luego un sistema de ecuaciones obtendré el término general.

Nota : En el caso de tener que calcular el término general de una fracción: Numerador por un lado y denominador por otro.


2.3 – LÍMITE DE UNA SUCESIÓN


REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ALGUNAS SUCESIONES

Para...