Profesor De Matematica

Modelo cuadrático
Problema:
El precio de un espejo cuadrado depende de su tamaño y de si incluye marco de madera o no. El metro cuadrado de espejo cuesta $ 30 y el metro lineal de marco de madera cuesta $ 25. ¿Cuánto cuesta un espejo de 1 m de lado con marco? ¿Y uno de 2 m sin marco? ¿Cuánto cuesta un espejo de 2,5 m de lado con marco? ¿Con $ 367,50 de qué medidas se puede comprar un espejosin marco? ¿Y si se quiere el espejo con marco?
¿Cuál es la fórmula que permite determinar el costo (en $) de un espejo cuadrado con marco, en función de la medida (en m) de su lado?
1m 2m 2,5m




Para resolver este problema hay varias posibilidades. Una de ellases hacer una tabla colocando las posibles medidas del lado del espejo y, a partir de ellas, calcular el precio del espejo solo, el precio del marco y el costo total.
Para la resolución se propone utilizar el siguiente cuadro para ir observando como se forma, mediante se busca la respuesta de cada una de las preguntas, la fórmula que representa el costo total de un espejo con marco.
1
2
2,54
Costo total ($)


Cantidad de m de marco
4
2*4 = 8
2,5*4=10
4*4 = 16
Precio del marco ($)
Medida del lado (m) Sup.de espejo (m2) Precio del espejo ($)
130
320
437,50
880
25*4=100 25*8 = 200 25*10= 250 25*16= 400
30
30*4=120
30*6,25 = 187,5
30*16 = 480
1
4
6,25
16
25*4*l
30*l2 + 25*4*l




Luego del análisis realizado, se puede decir, que sifinalmente quisiera calcular el costo de un espejo con marco, cuyo lado mide 3,5m, puedo utilizar la expresión obtenida al final del cuadro y reemplazar allí la medida del nuevo espejo y obtendría el costo total del mismo.
Entonces:
Una expresión con la variable elevada solamente a exponentes naturales, como la obtenida en el problema, recibe el nombre de expresión cuadrática cuando el máximoexponente al que está elevada la variable es 2
Podemos definir a una expresión cuadrática de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales y a es distinto de cero.
Función cuadrática
Las funciones que están representadas por expresiones cuadráticas se denominan funciones cuadráticas, cuya fórmula es:
f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales y a es distintode cero.
En número a es el coeficiente (principal) del término cuadrático, b es el coeficiente del término lineal, y c es término independiente.

Ejercicio 1:
Representar gráficamente, en un par de ejes cartesianos, la función f(x) = x2 .Utilizar una tabla de valores reales (R) positivos y negativos.

Luego de que los alumnos grafican, el docente analiza junto a los alumnos el gráficoobtenido de f(x) = x2

Dominio e imagen:
El dominio de es el conjunto de todos los reales. D(f) = R
El conjunto imagen son todos los reales positivos y el cero. Im (f) = R+ U {0} = [0;+00]

La grafica:
La gráfica de la función es una curva de línea continua denominada parábola, la cual tiene un eje de simetría, que coincide con el eje y. Dicho eje divide a la parábola en dos ramas iguales ysimétricas (el eje funciona como un espejo).
El punto de intersección de la parábola con su eje de simetría es el punto (0,0) y se denomina; vértice.

Luego de este pequeño análisis de la función se identificarán en el gráfico los demás puntos notables de las parábolas, y se dictará cada definición de dichos puntos.


Puntos notables de una parábola:

En todas las parábolas seidentifican:

* Eje de simetría: recta vertical con respecto a la cual los puntos de la parábola son simétricos;

* Vértice: punto en el cual la función alcanza un valor máximo o mínimo y además el punto de intersección entre la parábola y su eje;

* Ordenada al origen: valor de y para el cual la parábola corta al eje de ordenadas, o sea f (0).

* Conjunto de ceros o raíces: los ceros o...