Profesora

MATRIZ ADJUNTA

Definición: Dada una matriz A cuadrada se llama adjunta de A a la matriz que se obtiene reemplazando cada elemento de la transpuesta de A por su adjunto.

Sea la matriz cuadradaA=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann ⇒Adj A=A11A21…An1A12A22…An2…………A1nA2n…Ann

Actividad 1: Hallar la Adjunta de A=101210132 Rta: 23-1-4125-31

Propiedad de la matrizadjunta: El producto de una matriz cuadrada por su adjunta es igual al determinante de dicha matriz por la matriz identidad.

∀ A∈Mnxn: A.Adj A=A.I

Demostración:
Multiplicamos A. adj A:

A.Adj A A11A21…An1A12A22…An2…………A1nA2n…Ann

a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann A0…00A…0…………00…A

Observemos que:
* Al multiplicar la primera fila de A por la primera columna deAdj A obtenemos:
a11 A11 + a12 A12 +…+ a1n A1n = A por ser el desarrollo del det. A por la primera fila.
* Al multiplicar la primera fila de A por la segunda columna de Adj A obtenemos:
a11 A21+ a12 A22 +…+ a1n A2n = 0 por ser la suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de una paralela ( Propiedad 8 de determinantes).
En forma análoga se obtienen el resto delos elementos de A. Adj A
Además: A0…00A…0…………00…A= A.I

Podemos afirmar entonces que: A.Adj A=A.I

Actividad 2: verificar la propiedad demostrada para la matriz de la actividad anterior.MATRIZ INVERSA

Definición: Si A es una matriz cuadrada de orden nxn , la inversa de A es una matriz llamada A-1 de orden nxn que cumple la siguiente propiedad:

A. A-1 = A-1 .A = I

Donde I esla matriz identidad de orden nxn.

Si existe A-1 , se dice que la matriz A es invertible o no singular.
Si una matriz A no tiene inversa se llama no invertible o singular.

Una condición necesariay suficiente para que una matriz A sea invertible es que su determinante sea distinto de cero.

PROPIEDADES:

1) La inversa de una matriz es única.

Demostración: Suponemos que existen dos...