Programacion clasica

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Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas) Grado en: Adm. y Dirección de Empresas

2: Programación no lineal
1. Caso no sujeto arestricciones………………..………………………………...................................2

2. Caso sujeto a restricciones de igualdad. La función de Lagrange. Interpretación de los multiplicadores de Lagrange………………………………………………...…………………………4

3. Caso sujeto a restricciones de desigualdad. Condiciones necesarias ysuficientes de optimalidad………………………………………………….……………………………………………8

1

1. Caso no sujeto a restricciones.
Aquí resolveremos problemas del tipo (PI):

Optimizar

F(x1 , x2 ,..., xn )

donde F: D ⊂ Rn → R es al menos de clase 2 sobre D y D ⊂ Rn es abierto. Puesto que el conjunto de oportunidades es Rn, el teorema de Weierstrass no se cumple ya que X no es acotado y para el teoremalocal-global, aunque el conjunto es convexo, dependerá de la convexidad de F. Por tanto, no podemos asegurar nada con estos teoremas en este tipo de problemas. Para resolverlo, seguiremos los pasos que sesiguen en R, generalizando la primera derivada con el gradiente y la segunda derivada con la hessiana.

Teorema. Condición necesaria de 1er orden.
Si x* ∈ D es un óptimo local de (PI), entonces∇F(x*) = 0. Este teorema recoge las condiciones necesarias o de primer orden para estos problemas. Los puntos que anulan el gradiente de F se denominan candidatos a óptimo (o puntos críticos).DEFINICIÓN. Un punto crítico que no sea ni máximo ni mínimo se denomina punto de silla. Es decir, x* ∈ D es un punto de silla si ∇F(x*) = 0 y existen puntos en el entorno donde:

F(x) ≤ F(x*) ≤ F(y)Gráficamente:

2

Teorema (condición suficiente).
Sea x* ∈ D un punto crítico de F. Entonces: a) x* es mínimo (máximo) local de (PI) si la forma cuadrática htHF(x)h es semidefinida positiva (negativa)para todo x en algún entorno de x*. b) x* es mínimo (máximo) local estricto (PI) si la forma cuadrática htHF(x*)h es definida positiva (negativa). c) x* es...
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