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FUNDACION UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ

CALCULO FRACCIONAL:
UN ENFOQUE A LA TEORIA DE RIEMANN-LIOUVILLE

DIEGO FELIPE RODRIGUEZ PERDOMO
MATEMATICAS

LUIS ENRIQUE ROJAS
DIRECTOR

junio de 2008
 

CálculoFraccional : Historia y un enfoque a la teoría de Riemman-Liouville

1

Abstract.
[En Español] El artículo está dedicado al Cálculo Fraccional. En
él se encuentran datos deinterés sobre su historia y desarrollo teórico por parte de
varios autores, también contiene el desarrollo de la teoría de Riemann y Liouville, con
el aporte teórico de cada uno, dentro de esta disciplina. El artículo cuenta con una
parte teórica, la cual incluye el uso del cálculo elemental como pilar para el desarrollo
de la teoría de Riemann-Liouville, elementos como, la derivada e integraliteradas
hacen parte de esa teoría preliminar, la función gamma es de gran importancia ya
que en ella se sustenta la aplicación de derivadas e integrales fraccionales, después se
de…nen las derivadas e integrales bajo ciertas condiciones y partiendo de un resultado
importante como es la fórmula para integrales iteradas de Cauchy.
Abstract.
[In English] The article is dedicated to theFractional Calculus.
In him data of interest on their history and theoretical development on the part of
several authors are, also contains the development of the theory of Riemann and
Liouville, with the theoretical contribution of each one, within this discipline. The
article counts on a theoretical part, which includes the use of the elementary calculation like pounding for the development of thetheory of Riemann-Liouville, elements
like, the integral derived one and iteradas are part of that preliminary theory, the
gamma function is of great importance since in her the application of derived and
integral fractional is sustained, later de.nen the integral derived ones and under certain conditions and starting o¤ of an important result as it is the formula for repeat
integration ofCauchy.

Contenido
1.
2.

3.

4.
5.

Vista Histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Conceptos Previos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1
La derivada Iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2
La integral iterada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12
Cálculo fraccional de Riemann –Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1
Función gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2
Integral Fraccional de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3
La derivada fraccional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Conclusiones . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1. Visión Histórica
La pregunta original que le dio el nombre de Cálculo Fraccional fue: ¿Puede el sentido
de una derivada de orden entero dn y=dxn ser extendida para tener sentido cuando n es
una fracción? Después la pregunta se volvió:¿Puede n ser cualquier número: fraccional,
irracional o complejo? Ya que la última pregunta fue contestada a…rmativamente el nombre Cálculo Fraccional es un nombre equivocado, debería mejor llamarse integración y
diferenciación en un orden arbitrario.
1

Leibniz2 inventó la notación dn y=dxn . Quizás era una obra ingenua con símbolos que
incitaron a L’
Hopital3 en 1695 preguntarle a Leibniz:¿Qué si n es 1 ? Leibniz respondió:
2
1 Traduccion y Resumén del libro MILLER, KENNETH S. An introduction to the Fractional Calculus,
1993. John Wiley and Sons.
2 Gottfried Wilhelm von Leibniz fue un …lósofo, matemático, jurista y político alemán, nacido en Leipzig
en julio de 1646.
3 Matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l’
Hôpital (1661 - 1704)...