programacion en c

INTEGRACIÓN NUMÉRICA
REGLA TRAPEZOIDAL

Yamil Armando Cerquera Rojas
yacerque1@hotmail.com
Objetivos: Resolver el problema de cálculo del área bajo la curva entre dos
límites conocidos, dividiendo en N sub áreas para calcular su valor asumiendo
cada sub área como un pequeño trapecio.
Temas:
Cálculo de áreas.
Método de los trapecios.
Programación del método de los trapecios.
Cálculodel área de múltiples funciones en base a subclases.
Cálculo de áreas
Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se
forma al graficar una función. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que
aparece en la siguiente figura por debajo de la función f(x) entre los límites a y
b:

Fig. 1

En donde la función f (x) y los valores a y b son valores conocidos. ase
considera como el limite inferior y b se considera como límite superior.
En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones:
Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el
área solicitada.
Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área.
Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque
sonexactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (o
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difícil) obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite
ahorrar tiempo.
REGLA TRAPEZOIDAL O REGLA TRAPECIAL.
La Fig. 2 muestra de color verde como sería el cálculo del área bajo la curva de
la función f (x ) entre los límites a y bsi se dividiera dicha subarea en un solo
trapecio. El error que se cometería sería demasiado grande con respecto al área
real que se desea obtener. Dependiendo de la forma de la curva el error que se
cometería sería por exceso o por defecto. En el caso del ejemplo, el error seria
por defecto, es decir el valor que arroje el cálculo de la integral será menor al
valor real del área.

Fig. 2Si se divide el intervalo (área a calcular) en mas de una sub área, en el caso de
la Fig. 3 (dividida en 3 sub áreas), el error en le cálculo de la integral o área
total, se disminuye.

Fig. 3

La estrategia más simple y que evitaría menor error en el cálculo, consiste en
subdividir el intervalo pedido para el cálculo del área en n sub intervalos de

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pequeño tamaño y aproximar el área como la suma de las áreas de cada uno de
los trapecios que se forman:

Fig. 4

De la Fig 4 se puede deducir que dx = (b − a ) / n . Si n es suficientemente grande
(delta sería suficientemente pequeño), el área de los trapecios será
aproximadamente el área pedida. El área total que correspondería a la suma
del área de cadauno de los trapecios se calcula de la siguiente forma:
Se determinan los puntos del eje x que delimitarán cada trapecio. Estos
puntos son:
xi= a+i*dx, con i= 0, 1, 2, ..., n
Se evalúa la función f en cada uno de los puntos Xi:
yi= f(xi), i= 0, 1, 2, ..., n
Se calcula el área de cada trapecio como:
ai= (yi+y(i+1))*dx/2, i= 0, 1, 2, ..., n-1
Se suman las áreas de cada uno de los trapecios.DEDUCCION DEL MÉTODO DEL TRAPECIO: (Deducción del método desde los
Polinomios de Interpolación)
Corresponde al caso donde n=1, es decir:

∫

b

a

b

f ( x)dx ≈ ∫ f1 ( x)dx
a

Donde f1(x), es un polinomio de interpolación (obviamente de grado 1) para
los datos:
x
y

a
f(a)

b
f(b)

Del capítulo de interpolación y observando la Fig. 5, se sabe que este polinomio
deinterpolación puede expresarse mediante la expresión:

f (b) − f (a) f ( x) − f (a)
=
b−a
x−a
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Fig 5

f (b) − f (a)
( x − a) = f ( x) − f (a)
b−a

f1 ( x) = f (a ) +

f (b) − f (a)
( x − a)
b−a

Integrando este polinomio, se tiene que:
b

b

∫ f ( x)dx ∫
1

a

b

∫
a

a

b

f (b) − f (a )  (...