Programacion lineal

Clase # 12

En esta clase hablaremos sobre el análisis de sensibilidad, analizando el lado derecho, es decir los recursos o requerimientos.

Análisis de sensibilidad (1)

12-1

Primero veremos el enfoque matricial, y luego se explicaran que significan los conceptos y cifras que se hallaron con los cálculos matriciales. Además se ilustrará gráficamente el problema de la Wyndor.

12-2Suposición de la P.L

( a ij , bi , cj) constantes conocidas. estimaciones

Z

Curva muy sensible a cambios

parámetros

Es importante llevar a cabo un análisis de sensibilidad , para investigar el efecto que tendría sobre la solución óptima y la función objetivo el hecho que los parámetros tomaran otros valores posibles.

∆Z ∆

∆ Xi ∆
12-3

Xi
12-4

Z

Curva poco sensible acambios

Cómo cambian la solución y la función objetivo cuando los parámetros varían:
• Resolver de nuevo el problema

∆Z ∆

• Análisis de sensibilidad.
∆ Xi ∆

Xi

veamos
12-5 12-6

1

Aplicación del análisis de sensibilidad.

Se pueden producir cambios en:
• bi : (recursos). • aij : (coeficientes tecnológicos). • cj : (coeficientes de costos).

Pero antes de entrar delleno con el análisis de sensibilidad es importante recordar:

1 0

cB B-1 B-1

1 0

-c A

0 I

0 = b

1
12-7

cB B-1 A - c cB B-1 B-1 A B-1

cB B-1 b B-1 b
12-8

0

Cualquier tabla del simplex se puede obtener a partir de:
1 0 -c A 0 I 0

1.Cambios en las bi (recursos).
Los cambios en los recursos se pueden ver claramente en el ejemplo de la Wyndor. En este caso serían unaumento o disminución en la disponibilidad de horas en las plantas 1,2 y 3.
veamos
12-9 12-10

Tabla original
b

-1 1 cB B

0

B-1

Matriz que premultiplica a la tabla original

Para x B =

x3 x2 x1

Esta es la base óptima

En este ejemplo podemos aplicar lo visto :
-1 1 cB B

1

0

B-1

=

0 0 0

Tenemos
1 0

0 3/2 1 1 1/3 -1/3 0 1/2 0 0 -1/3 1/3

B= 0
01 2 0 2 3

1 1/3 -1/3 B-1 = 0 1/2 0 0 -1/3 1/3

Ya que
cB B-1 = 0 5 3 1 1/3 -1/3 = 0 1/2 0 0 -1/3 1/3
0 3/2 1

cB = 0 5 3
12-11

12-12

2

1 0 0 0

0 3/2 1 1 1/3 -1/3 0 1/2 0 0 -1/3 1/3

1 0 0 0

-3 -5 1 0 0 2 3 2

0 1 0 0

0

0 0 0 0 4 1 0 12 0 1 18

Definición.
z = cB B-1 A Para el ejemplo z =
0 3/2 1

1 0 3

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 3/2 1 1 1/3-1/3 2 0 1/2 0 6 0 -1/3 1/3 2

36 Tabla óptima

0 = 2 2

3 5

CB B-1 A - c =
12-13

3 5

-

3 5

=

0 0
12-14

1. Supongamos que se cambia la disponibilidad de horas en la planta 2 (b2 ). Si b2 = b2 + ∆
Notemos que sólo cambia b =
4 12+∆ ∆ 18

Si cambian los recursos, varía tanto el valor de las V.B y por tanto el valor de la función objetivo. Se está poniendo en riesgo lafactibilidad.

1 cB B-1 b B-1 b

cB B-1 A - c B-1 A

cB B-1 cB B-1 b B-1 B-1 b
12-16

Debido a que tiene el vector b
12-15

0

Resolvamos este problema con b2 (sólo se varía un recurso al tiempo ). CB B-1 b =
0 3/2 1

Recuerde que el problema es factible si bi ≥ 0
2 + 1/3 ∆ ≥ 0 6 + 1/2 ∆ ≥ 0 2 - 1/3 ∆ ≥ 0 ∆ ≥ -6 ∆ ≥ -12 ∆ ≤ 6

4 12+∆ ∆ 18

= 18 + (3/2) ∆ + 18
= 36 + (3/2) ∆Precio sombra

1 1/3 -1/3 4 2 + 1/3 ∆ B-1 b = 0 ∆ 0 12+∆ = 6 + 1/2 ∆ 1/2 2 - 1/3 ∆ 0 -1/3 1/3 18

0 ≥ 0 0

-6 ≤ ∆ ≤ 6 6 ≤ 12 + ∆ ≤ 18 6 ≤ b2 ≤ 18

Acá podemos ver los rangos de variación permitidos para

b2

La disponibilidad de horas en la planta 2 puede variar entre 6 y 18 sin que se afecte la factibilidad del problema.
12-18

12-17

3

2. Ahora supongamos que se cambia ladisponibilidad de horas en la planta 3 (b3 ). Si b3 = b3 + ∆
Notemos que sólo cambia
cB B-1 b B-1 b

Resolvamos este problema (sólo se varía un recurso al tiempo). CB B-1 b =
0 3/2 1

b =

4 12 18 +∆ ∆

4 12 18 +∆ ∆

= 18 + 18 + ∆
= 36 + 1∆ ∆
Precio sombra

B-1 b = 0

1 1/3 -1/3 4 0 2 - 1/3 ∆ = 12 6 ≥ 0 1/2 0 0 ∆ 2 + 1/3 ∆ 0 -1/3 1/3 18 +∆
Acá podemos ver los rangos de...