Programacion no lineal

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  • Publicado : 11 de noviembre de 2010
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Existen muchos problemas que no pueden ser expresados en términos de funciones lineales, sino por medio de funciones no lineales.
Las soluciones a estos problemas son mas dispersas que las de programación lineal, ya que no existe un método de solución general como por ejemplo el algoritmo Simplex; por lo tanto existen soluciones para algunos tipos muy especiales de problemas de programación nolineal.
El problema general de programación no lineal es:
OPTZ = F(X1, X2, X3, ...,Xn)
Con las siguientes restricciones:
g1 (X1, X2, X3, ...,Xn) bi
g2 (X1, X2, X3, ...,Xn) b2
g3 (X1, X2, X3, ...,Xn) b3

gm (X1, X2, X3, ...Xn) bm
Xj 0     J= 1,2,3, ....., n
La puede corresponder a un problema de maximización o de minimización.
Algunos de los principales métodos de solución son lossiguientes:
* La solución gráfica, cuando son máximo tres (3) variables.
* Las restricciones son ecuaciones en lugar de desigualdades “ m < n “; lo anterior constituye un caso de optimización clásica y se puede aplicar para su solución los multiplicadores de Lagrange.
* " f (X1, X2, X3, ...Xn)" es no lineal, pero las "g (X1, X2, X3, ...,Xn)" son lineales; para las anteriores condicioneshay dos (2) casos especiales:
1. Programacion cuadratica:

2. Programación convexa separable :

Donde fi"(Xi)" una función de una sola variable
• La Búsqueda Gradiental para Programación Convexa, si la funsión lineal es cóncava y las restricciones son convexas.
• Restricciones no lineales, pero separables :

Para garantizar una solución óptima estos problemas deben contenerrestricciones muy estrictas en las "gij(Xj)" y en la función objetivo.

• La Programación Geométrica:
Los métodos más generales de solución aplicables en programación no lineal son los multiplicadores de Lagrange y Karush – Kuhn – Zucker.
El método de los multiplicadores de Lagrange consiste en aplicar la función luego calcular las primeras derivadas parciales, igualarlas a cero y encontrar el óptimo delproblema ; para verificar el máximo o mínimo de la función se encuentran las segundas derivadas parciales.
Las condiciones necesarias de Karush – Kuhn – Tucker también son suficientes si la función objetivo y el espacio solución satisfacen ciertos requerimientos con respecto a la convexidad y a la concavidad.
Una solución óptima de un problema de programación no lineal, corresponde a la soluciónóptima definitiva si existen n numeros negativos i, i = 1, 2, 3, ...., n tales que satisfacen las condiciones siguientes:

i > indica que la i-esima restricción es equivalente a Xki = 0 donde Xki es la i-esima variable de holgura.
i = 0 explica que la i esima restriccion no es limitante a Xki 0

Para definir estas condiciones, definimos el problema de Programación No lineal generalizadocomo:
OPTZ = F(X1, X2, X3, ...,Xn)
Sujeta a:

La puede corresponder a una maximización o minimización y el multiplicador de Lagrange es:

 
Sentido de la optimizacion | Condiciones requeridas |
| Funcion Objetivo | Espacio solucion |
Mazimizacion | Concava | Conjunto convexo |
Minimizacion | Convexa | Conjunto convexo |
 
Sentido de la optimizacion | Condiciones requeridas |
|f(X) | g1(X) | i |
Maximizacion |   |
Minimizacion | |

SOLUCION GRAFICA |
  |
Nos permite visualizar el óptimo, pero tiene la desventaja de servir únicamente para representar pocas variables, hasta tres (3). Ejemplo:GraficamosEn esta gráfica podemos observar la región sombreada, la cual es cerrada, acotada, convexa, así como también algunas curvas de nivel.Este problema poseesolución global en la región factible; todo mínimo local es global y al verificarse las condiciones de convexidad, todo punto candidato a mínimo lo es.Buscamos los puntos candidatos a mínimo Construyendo la función de Lagrange:Las derivadas parciales igualadas a cero son:Resolviendo el sistema de cuatro ecuaciones son cuatro incógnitas (primeras derivadas parciales) obtenemos:Es decir, al verificar...
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