Progresiones

10. Progresiones
10.1 INTRODUCCIÓN
Definición. Una sucesión de números es un conjunto ordenado de números formados de
acuerdo con una ley dada.
El requisito esencial para que exista una sucesiónde números es que exista una ley o
fórmula con la cual sea posible obtener cualquier elemento de la sucesión. Por ejemplo, si
un representa el enésimo término de una sucesión, entonces debe existiruna expresión para
un en términos de n, es decir, dicho término enésimo debe ser una función de n. Así, en el
ejemplo dado anteriormente, un = 2n + 1, la cual es una fórmula que nos permite obtenercualquier término de la sucesión.
Si una sucesión tiene un último término se le llama sucesión finita; en caso contrario, es
decir, si el número de términos es ilimitado, se le llama sucesióninfinita.
Nota. La suma indicada de los términos de una sucesión recibe el nombre de serie; una
serie puede ser finita o infinita según que la sucesión que la forma sea finita o infinita. Las
seriesinfinitas son objeto de estudio especial en los tratados de cálculo diferencial y
también son de gran importancia en la Teoría de funciones.
En los siguientes artículos estudiaremos tres tiposdiferentes de sucesiones finitas y un tipo
de sucesión infinita.
10.2 PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Definición. Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de los
términos posteriores alprimero se obtiene añadiendo al término anterior un número fijo
llamado la diferencia de la progresión.
De acuerdo con la definición, una progresión aritmética puede escribirse en la forma
(1)a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d,…

en donde a1 se llama primer término y d es la diferencia.
En general el enésimo término es:
(2)

an = a1 + ( n - 1) d

Ahora vamos a obtener una expresión parala suma sn, de los n primeros términos de la
sucesión (1), es decir, para la suma:
(3)

sn= a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (an - 2d) + (an – d) + an.

Escribiendo los términos del segundo...