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En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajouna curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemánBernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectangulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno delos rectangulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
[editar]Definición

Consideremos lo siguiente:


* una función f:[D]\rightarrow\mathbb{R}

donde D es un subconjunto de los números reales\mathbb{R}

* I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

* Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2... < xn = b

crean una partición de I

P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}

Si P es una partición con n elementos de I,entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

S = \sum_{i=1}^{n} f(y_i)(x_{i}-x_{i-1})

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. Laelección de yi en este intervalo es arbitraria.

Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.
Si yi = xi,entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.