Propiedades de los limites de una funcion

Def. de límite de una función en un punto
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (a+δ, a ) , entonces |f(x) - L| 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (a, a + δ), , entonces |f (x) - L| 0 )se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.

��������→�� �� �� = ∞
Ejemplo:

∀�� ∈ ��+∃�� = �� �� > ��/ ��< �� − �� < ��

�� �� > ��

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Límite menos infinito Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos losvalores próximos a a.

��������→�� �� �� = −∞
Ejemplo:

∀�� ∈ ��−∃�� = �� �� > ��/ ��< �� − �� < ��

�� �� < ��

Límites en el infinito
Límite cuando x tiende a infinito

Límite cuando x tiende a menos infinito
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Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo: Ejemplo:
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Asíntotas
Asíntotas horizontales
Si se cumple que

Es una asíntota horizontal

Ejemplo Calcular las asíntotashorizontales de la función:

Asíntotas verticales
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Asíntotas verticales
Si se cumple que
Es una asíntota vertical

Los valores de K hay que buscarlos entre los puntos que no pertenecen al dominio de la función Ejemplo Calcular las asíntotas horizontales y verticales de la función:

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Asíntotas oblicuas
Tienen la forma

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotashorizontales.

Ejemplo Calcular las asíntotas de la función:

Asíntotas horizontales

No hay asíntotas horizontales Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

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Ramas parabólicas
Las ramas parabólicas se estudian sólo si:

Rama parabólica en la dirección del eje OY Se dice que f tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY cuando:

Esto quiere decir que la gráfica se comportacomo una parábola de eje vertical. Ejemplo Estudiar las ramas parabólicas de la función:

Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY.
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Rama parabólica en la dirección del eje OX Se dice que f tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX cuando:

Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje horizontal. Ejemplo Estudiar las ramas parabólicas dela función:

Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX.

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Propiedades de los límites

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de un logaritmo

Operaciones con infinito: Indeterminaciones Infinito más un número

Infinito más infinito

Infinito menos infinito

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Infinito porun número

Infinito por infinito

Infinito por cero

Cero partido por un número

Un número partido por cero

Un número partido por infinito

Infinito partido por un número

Cero partido por infinito

Cero partido por cero

Infinito partido por infinito

Un número elevado a cero

Cero elevado a cero

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Infinito elevado a cero

Cero elevado a un número

Un númeroelevado a infinito

Cero elevado a infinito

Infinito elevado a infinito

Uno elevado a infinito

No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber: La regla de los signos y que a-n = 1/a n

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Las 7 Indeterminaciones
1. Infinito partido por infinito

2. Infinito menos infinito

3. Cero partido por cero

4. Cero por infinito

5. Ceroelevado a cero

6. Infinito elevado a cero

7. Uno elevado a infinito

Cálculo de límites
Cálculo del límite en un punto Si f(x) es una función (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

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No podemos...