Propiedades de los numeros reales

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Los números reales se pueden representar por expresiones decimales infinitas.Por ejemplo, realizando la división puede verse que la representación decimaldel numero racional 177/55 es 3.2181818..., en donde los dígitos 1 y 8 serepiten indefinidamente. Los números reales pueden representarse siempre porexpresiones decimales periódicas, es decir, en las que hay una combinación dedígitos que serepiten indefinidamente. Los números irracionales puedenrepresentarse por expresiones decimales infinitas no periódicas.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
1)Propiedad Conmutativa: a+b = b+a Sean a,b pertenecientes a los reales.2)Propiedad Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) Sean a,b,c pertenecientes a losreales.3)Existencia de elemento inverso(inverso aditivo): a+(-a)=04)Existencia de elemento neutro: a+0=a5)Propiedad Conmutativa del producto: a.b=b.a6)Propiedad Asociativa del producto: ( a.b).c= a.(b.c)7)Existencia de elemento inverso: a.1/a = 18)Existencia de elemento neutro(del producto) : a.1 = a9)Propiedad Distributiva: (a+b).c = ac+bc (a.b)+c=(a+c).(b+c)10)Tricotomia : a>b , a<b o a=b11)Monotonia de la suma12 Monotonia del producto.13) Propiedad Transitiva a>b>c entoncesa>c14) Propiedad Uniforme.

(tricotomania)
La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualquier dos números reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad:
a<b, a=b, a>b.
Para cualquier relación de equivalencia R encendido conjunto A, la relación es tricótoma si para todo el x y y en A exactamente una de
xRy, x=y, yRx
asimientos.
Una relación tricótoma no essimétrica, no es reflexivo, sino es transitiva.
Propiedads de relaciones tricótomas |
Propiedad | Ecuación | Descripción |
Propiedad simétrica | xRx es siempre falso. | Una relación tricótoma no es simétrica. Por ejemplo, la declaración 3<3 es siempre falso. |
Propiedad reflexiva | Si xRy entonces no yRx | Una relación tricótoma no es reflexiva. Por ejemplo, 3<4 ⇒ 4≮3. |
Propiedadtransitiva | Si xRy y xRz entonces xRz | Una relación tricótoma es típicamente transitiva. Por ejemplo, 3<4, 4<5 ⇒ 3<5. |
Cuadro 1 |

Conjuntos acotados en R. El axioma del supremo
Dado un subconjunto S de R y un número real a, si a # s para todo s & S se dice que a es una
cota inferior de S y que S está acotado inferiormente (por a). Si b es otro número real y b $ s para
todos & S, se dice que b es una cota superior de S y que S está acotado superiormente (por b). Si un
conjunto S está acotado superior e inferiormente, se dice que está acotado.
Un número real m se dice que es el mínimo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una
cota inferior. Es decir, si m & S y m # s para todo s & S. Se escribe entonces m = m´ınS.
Un número real M se diceque es el máximo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una
cota superior. Es decir, si M & S y M $ s para todo s & S. En ese caso, se escribe M = m´axS.
Un número real a se dice que es el ínfimo de un conjunto S si es la mayor cota inferior del S. Es
decir, si a # s para todo s & S y cada a- > a no es cota inferior de S; de modo que se tendrá a- > s-
para algún s-& S. En ese caso, se escribe a =´ınfS.
Dicho de otra forma, el ínfimo de un conjunto es el máximo del conjunto de cotas inferiores del
primero. Nótese que si a =´ınfS, será a = m´ınS si y solo si a & S.
Un número real b se dice que es el supremo de un conjunto S si es la menor cota superior del S.
Es decir, si b $ s para todo s & S y cada b- < b no es cota superior de S; de modo quese tendrá b- < s-
para algún s- & S. Se escribe b = supS.
Dicho de otra forma, el supremo de un conjunto es el mínimo del conjunto de cotas superiores del
primero. Nótese que si b = supS, será b = m´axS si y solo si a & S.
El axioma del supremo, o axioma de completitud de R, es la siguiente propiedad que caracteriza
la diferencia entre Q y R:
• Todo subconjunto no vacío...
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