PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS LTI

PRÁCTICA 2

Propiedades de los sistemas LTI

Convolución y correlación


Iniciamos la práctica definiendo la variable temporal t=-10:0.001:10;
Simulamos que se trata de una función continua dándole un valor muy alto a su resolución.

La función de MATLAB que realiza la convolución es:

conv(x,y);

Para obtener al mismo tiempo la figura resultante, se ha definido la funcióndibuconv(x,y)

Que además de realizar ella misma la convolución de las dos funciones x e y, hace el plot del resultado.



Anchura temporal de la convolución

Vamos a comprobar cómo la anchura de la señal resultado de convolucionar dos señales continuas, es la suma de las anchuras.
Comenzaremos convolucionando dos pulsos.
En primer lugar, definimos los dos pulsos que queremos convolucionar,es este caso de igual anchura, 4, y centrados en tiempo cero:

t=-10:0.001:10;
f1=pulso(t,4);
f2=pulso(t,4);
dibut(f1)
dibut(f2)

Hemos definido también la función dibuconv que además incluye a la función plot, por lo que aparece dibujado el resultado.

dibuconv(f1,f2);


En este caso, se sabe por la teoría, el resultado es un triángulo centrado también en tiempo cero y cuyaextensión temporal es desde -4 hasta 4 positivo. La anchura es por tanto 8, igual a la suma de la anchura de los dos pulsos (4+4).
También hay que observar que la amplitud máxima del triángulo generado se corresponde con el área en el instante de máximo solape, que para el caso anterior coincide con el valor del área del pulso, ¿por qué? Al ser dos señales idénticas, el máximo solape se produce cuandocoinciden totalmente, por lo que el área de solape es el área de cualquiera de ellas, es decir, base por altura: 4x1=4
En el caso general de señales positivas, el valor máximo será el área de la señal producto al darse el máximo solape. Por ejemplo, si convolucionamos ahora el mismo pulso con un segundo pulso de doble anchura, tau=8

f2=pulso(t,8);
dibut(f2)
dibuconv(f1,f2);

En este caso lafigura resultante es un trapecio de anchura 12=4+8
La amplitud máxima sigue siendo 4, pero en este caso se mantiene constante desde t= -2 hasta t= 2


A continuación convolucionamos un triángulo de anchura 2 con el pulso de anchura 4.
La amplitud máxima será igual al área del triángulo = 2 :

f1=trian(t,2);
f2=pulso(t,4);
dibut(f1.*f2)
dibuconv(f1,f2);


NOTA: Los Instantes inicial yfinal de la señal resultante de la convolución se calculan respectivamente sumando los instantes iniciales y finales de las señales originales


f2=pulso(t-1,4);
dibuconv(f2,f2);


Para el primer caso, tenemos la convolución de dos pulsos iguales que empiezan en el instante t = -1 y acaban en t= 3 , tienen anchura 4.
La señal convolucionada será un triángulo que comenzará en -1-1= -2, yacabará en 3+3=6. La anchura será 4+4=8, y la amplitud máxima será el área del pulso: 4


En el segundo caso el pulso es de anchura 2 y empieza en t=0:

f1=pulso(t-1,2);
dibuconv(f1,f1);

La solución es un triángulo de 0 a 4 y amplitud de pico 2


Realizad dos ejercicios más, convolucionando dos pulsos de diferente anchura modificando su posición en el tiempo. Explique el resultado yagregue las figuras.



2 Propiedades de la convolución.

La convolución cumple las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. Para comprobarlo vamos a utilizar las dos configuraciones de la siguiente figura donde la señal de entrada y las respuestas impulsionales se definen de la siguiente manera:

x = trian(t,2) ;
h1 = pulso(t,2) ;
h2 = exp(-t/3) .*escalon(t) ;

2.1 Propiedadconmutativa

Realice las siguientes operaciones y compare los resultados obtenidos para comprobar que la convolución es conmutativa y asociativa:

z(t) = x(t)*h1(t)

y1(t)=z(t)*h2(t) = x(t)*h1(t)*h2(t)



z =conv(x,h1);
dibuconv(z,h2);


El resultado, por ser conmutativa la convolución, será idéntico al obtenido si se cambia el orden de los sistemas, y2(t)=y1(t):

z(t) =x(t)*h2...