proporcion aurea

Dibujo Técnico – Proporción áurea

2º Bach

15. LA PROPORCIÓN ÁUREA.
15.1. La Geometría.
Su nombre tiene algo de mítico porque suena mucho más de lo que realmente se le conoce. Se le llama
también divina proporción, número de oro, regla dorada, etc. Su construcción y uso no es nada
complicado, lo que pasa es que es mucho más inmediato hacer una proporción estática, basada en la
igualdad,como dividir algo por un número entero, lo mismo que establecer un ritmo de crecimiento a
partir de por ejemplo la duplicación: 1, 2, 4, 8, 16... En el mundo de la informática es lo usual, y cuando
nos condicionan factores materiales, espaciales, físicos, la cuadrícula es la forma más cómoda de adaptarse
a estos condicionantes. Sin embargo en la naturaleza se manifiestan otras organizacionesformales y
principios proporcionales mucho más interesantes como modelo para el trabajo creativo.
La proporción áurea está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.-III), en una construcción
geométrica denominada División de un segmento en media y extrema razón. La idea es tan simple como
perfecta: El todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y lamayor, es
igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas.

15.2. La proporción áurea.
Cuando en una tercera proporcional el término mayor es igual a la suma de los otros dos se verifica que:

es el número de oro.

Cuando un rectángulo tiene los lados con esta proporción recibe el nombre de rectángulo de oro. En el
capítulo dedicado a las relaciones del arte con lageometría veremos la importancia de en el estudio de las
proporciones armónicas. Más adelante estudiaremos las espirales relacionadas con el rectángulo de oro.
También es fundamental para la construcción del pentágono regular, pues la proporción áurea se cumple
entre su diagonal y su lado:

Vamos a comprobar que

Operamos:

1

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Resulta unaecuación de segundo grado donde la incógnita es a. Vamos a despejarla. Nos interesa sólo
la raíz positiva:

Vamos a construir segmentaciones áureas a partir de diferentes datos:
15.2.1. Cuando el dato es a.
Dibujamos un cuadrado de lado a y la mediatriz de dicho lado. Con centro en N, punto medio de a, y
radio NM, diagonal de medio cuadrado, trazamos un arco que corta en P a la prolongaciónde a,
definiendo el segmento b. Se cumple que
Vamos a comprobarlo:
Como

, pues son radios de la misma circunferencia, resulta que:

Consideramos el triángulo MNQ, por Pitágoras:

En nuestro dibujo:

Lo aplicamos en la igualdad anterior:

luego:

1.- Dibujamos un cuadrado de lado a
2.- La mediatriz de dicho lado.
3.- Con centro en N, punto medio de a, y radio NM,
diagonal demedio cuadrado, trazamos un arco que corta en P
a la prolongación de a
4.- Definiendo el segmento b.

2

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15.2.2. Ejercicio: Dado un segmento AB = 40 mm, que es el segmento áureo de otro .Hallar
este.
1-. Por el extremo B trazamos una perpendicular al
segmento AB.
2.- Determinamos la mediatriz de AB.
3.- Haciendo centro en B llevamos a/2sobre la
perpendicular punto O.
4.- Con centro en O y radio OB = a/2 trazamos una
circunferencia.
5.- Unimos O con A y lo prolongamos hasta que
corte a la circunferencia en el punto D. El segmento AD
es el segmento buscado.

15.3. Cuando el dato es a+b.
Ésta es otra construcción de la segmentación áurea. Sea MN= a+b. Trazamos un segmento
perpendicular de magnitud MN/2 y dibujamos eltriángulo rectángulo MNP. Con centro en P y radio PN
trazamos un arco que corta a la hipotenusa en el punto Q. Con centro en A trazamos un arco de radio AQ
que corta a MN en el punto R, definiendo los segmentos a y b.
Se verifica que:
Vamos a comprobarlo:
, ya que
y
Considerando el triángulo MNP, por Pitágoras:

, luego:

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Sea MN= a+b.
1.-...