Proporcionalidad

Planificación de proporcionalidad

1) Variaciones Proporcionales:

1.1) Razón:

Ejemplo de introducción:
Pedro y Carla son los mayores de 8 hermanos. Su mamá tenía $13.200 destinados para la colación de sus todos sus hijos, y para que no pelearan, lo distribuyó en 8 bolsitas equitativas, es decir, cada bolsa tenía $1.650. Pero, en un momento de descuido, los traviesos hermanos Pedro yCarla se llevaron las bolsitas. Pedro se llevó 3 bolsitas, es decir, $4.950 en total y Carla se llevó 5 bolsitas, es decir, $8.250 en total.

Recordando fracciones, tenemos que Pedro se llevo [pic] del dinero y Carla se llevó [pic].
En este caso, decimos que Pedro y Carla se distribuyeron el dinero de su madre en la razón 3 : 5

Definición: La razón es una comparación de dos números mediante uncuociente. Y se anota:

a : b ó [pic] (se lee “a es a b”)
Elementos en una razón:

Al cuociente que se obtiene al dividir a por b se denomina constante.
Por lo tanto, del ejemplo anterior podeos decir que 3 : 5 = [pic].
Y además como 3 : 5 = 0,6, entonces 0,6 sería la constante.

La razón múltiple es la comparación de tres o más números, ejemplo, si tres amigos pagarán $32.000 paraun “carrete” en la razón 2 : 3 : 5, significaría que para obtener cada una de las partes se debe dividir por 10 ya que 10 = 2 + 3 + 5, lo que nos queda 32.000 : 10 = 3.200. Por lo tanto;

Amigo 1: [pic] = 6.400, debe pagar $6.400

Amigo 2: [pic] = 9.600, debe pagar $9.600

Amigo 3: [pic]= 16.000, debe pagar $16.000

1.2) Proporción:

Ejercicio:

Formamos razones entre el largo yel ancho de cada rectángulo quedando

Por un lado tenemos que:

4,5 : 7,5 =0,6 y 3 : 5 = 0,6

Por lo tanto, forman una proporción.

Definición: Cuando 2 razones tienen igual constante, podemos unirlas y formar una sola expresión llamada proporción, que puede escribirse como:

a : b = c : d ó [pic]

Es decir, con el ejemplo anterior, podemos escribir:Elementos en una proporción:

Por lo tanto, según el ejemplo 3 y 7,5 serían los Términos Externos, 4,5 y 7,5 serían los Términos Medios.

Teorema Fundamental de las Proporciones:

a : b = c : d si y sólo si [pic]

Es decir,

Propiedades de las proporciones:

1) Alternando los términos externos:

2) Alternando los términos medios:

3) Invirtiendo las razones:

4) Permutando laproporción:

5) Componer respecto al antecedente:

6) Componer respecto al consecuente:

7) Descomponer respecto al antecedente:

8) Descomponer respecto al consecuente:

9) Componer y descomponer a la vez:

Ejercicios

1.- Identifica, aplicando el teorema fundamental de las proporciones, cuáles de los siguientes pares de razones forman una proporción.

a) [pic] y [pic] b) [pic] y[pic] c) [pic] y [pic] d) [pic] y [pic] e) [pic] y [pic] f) [pic] y [pic]

2.- Juan y Cecilia son una pareja de hermanos de 20 y 15 años, respectivamente. José y Marcela forman otra, de 16 y 12 años respectivamente. ¿En que razón están las edades de cada pareja? ¿Forman una proporción?

3.- Completa con el número que falta cada una de las siguientes proporciones.

a) [pic] b)[pic] c) [pic] d) [pic] e) [pic]

4.- Las edades de tres hermanos son 10, 15 y 20 años.

a) ¿Cuál es la razón entre las edades?
b) El padre de ellos les reparte $45.000 en la razón en que se encuentran sus edades. ¿Cuánto recibe cada uno?

5.- Los ángulos interiores de una triángulo están en la razón 2 : 3 : 5. ¿Cuánto mide cada ángulo?

6.- En un curso de 35 alumnos la razón entrehombres y mujeres es 2 : 3. ¿Cuántas mujeres hay en el curso?

7.- La razón entre las edades de un papá y de su hijo es 7 : 3. Si el padre tiene 42 años:

a) ¿Qué edad tiene el hijo?
b) ¿En qué razón estarán sus edades en seis años más?

1.3) Proporcionalidad directa:

Ejemplo de introducción:

En el kiosco del liceo venden chocolates a $100 cada uno. ¿Cuánto costarán 5 chocolates?...