Proposicion 24

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PROPOSICIÓN 24

SI DOS TRIANGULOS TIENEN DOS LADOS DEL UNO IGUALES RESPECTIVAMENTE A DOS LADOS DEL OTRO, PERO UNO TIENE EL ANGULO COMPRENDIDO POR LAS RECTASIGUALES MAYOR QUE EL OTRO, TAMBIEN TENDRA LA BASE MAYOR QUE LA OTRA.

Sean ABC, DEF dos triangulo que tiene los dos lados AB, AC, iguales a los dos lados DE, DFrespectivamente: AB a DE y AC a DF, pero el ángulo correspondiente a A sea mayor que el ángulo correspondiente a D.
Digo que la base BC también es mayor que labase EF. Pues como el ángulo BAC es mayor que el ángulo EDF, constrúyase en la recta DE y en su punto D el (ángulo) EDH igual al ángulo BAC (I, 23), y hágase DH iguala una de las dos rectas AC, DF, y trácense EH, FH.
Pues bien, como AB es igual a DE, y AC a DH, las dos (rectas) BA, AC son iguales respectivamente a la dos(rectas) ED, DH; y el ángulo BAC es igual al ángulo EDH ; por tanto, la base BC es iguala a la base EH (I, 4) . Así mismo, como DF es igual a DH, el ángulo DHFes también igual al ángulo DFH (I, 5); por tanto, el (ángulo) DFH es mayor que el (ángulo) EHF; entonces el (ángulo) EFH es mucho mayor que el ángulo EHF. Y dadoque EFH es un triangulo LO que tiene el ángulo EFH mayor que el (ángulo) EHF y el ángulo mayor lo subtiende el lado mayor (I, 19), entonces el lado EH es tambiénmayor que el lado EF. Pero EH es igual a BC; por tanto BC es mayor que EF.
Por consiguiente, si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales respectivamente ados lados del otro, pero tienen uno de los ángulos comprendidos por las rectas iguales mayor que el otro, también tendrán la base mayor que la otra. Q.E.D
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