Proposiciones Matemáticas

Proposiciones
Una proposición se considera una frase, a la cual, se le puede asignar dos valores: o bién es verdadera, o bien es falsa, pero no ambas cosas. La verdad o falsedad de dicha proposición se le llama su valor de verdad .
Algunas proposiciones se pueden componer de dos o varias proposiciones simples, a los cuales, les llamaremos proposiciones compuestas . Esto lo veremos más adelante.Comúnmente se suele denotar a las proposiciones mediante las letras: « p, q, r, s...etc. »
A continuación, veremos algunos ejemplos muy simples, de manera que se comprenda que son las proposiciones en Lógica.
p: 7 es un número par;
q: 2 + 2 = 4;
r: 2 es un número impar.
Como puedes darte cuenta, las proposiciones tanto p, q y r, tienen valores de verdad. De manera que la proposición p, suvalor de verdad será Falso , pues 7 no es un número par. Para la proposición q, su valor de verdad será verdadero, siempre y cuando estemos hablando del sistema decimal. El valor de verdad para r, será falso, pues 2 no es un número impar.
CONECTIVOS LÓGICOS EN PROPOSICIONES COMPUESTAS
Existen conectivos u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas, es decir,
formadas porvarias proposiciones. Los operadores o conectores básicos son:
• Conjunción (operador and)
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado
verdadero. Se le conoce como multiplicación lógica y su símbolo es ∧ (and).
Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado: "Voy al cine cuando hay una buena película y cuando tengo dinero "
Sean:
p: Voyal cine.
q: Hay una buena película.
r: Tengo dinero.
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:
p = q∧r
Su tabla de verdad es como sigue:
q r p∧r
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Donde.
1 = verdadero
0 = falso
En la tabla anterior el valor de q=1 significa que hay una buena película, r=1 significa que tengo dinero yp=q∧r=1 significa que voy ir al cine. Se puede notar que con cualquiera de las dos proposiciones que
valga cero implica que no asisto al cine.
• Disyunción (operador or)
Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera.
Se conoce como suma lógica y su símbolo es ∨ (or).
Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado: “Para ir a Toluca puedo tomarla carretera federal o tomar la autopista de
cuota”
Sean:
p: Ir a Toluca.
q: Tomar la carretera federal.
r: Tomar la autopista de cuota.

q r p∨r
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0 Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Lógica matemática Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
3
En la tabla anterior el valor de q=1 significa tomar la carretera federal, r=1 significa tomar laautopista de
cuota y p=q∨r=1 significa ir a Toluca. Se puede notar que con cualquiera de las dos proposiciones que
valga uno implica que llego a Toluca.
• Negación (operador not)
Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el
operador not se obtendrá su negación (falso) y viceversa. Este operador se indica por medio delsímbolo ’.
Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado: “El león es el rey de la selva”
Sean:
p: El león es el rey de la selva.
p’: El león no es el rey de la selva.
Su tabla de verdad es como sigue:
p p’
1 0
0 1
En la tabla anterior el valor de p=1 significa que el león es el rey de la selva, y p=0 significa que el león
no lo es
1
.
Ejemplo.
Sean las proposiciones:
p: Ya es tarde.q: Tengo que dormirme.
r: Me levantaré temprano.
El enunciado: "Ya es tarde y tengo que dormirme o no me levantaré temprano”. Se puede representar
Simbólicamente de la siguiente manera: p∧q∨r’

*  Proposiciones condicionales.
 Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:
 
p...