Proposiciones

 

ASIGNATURA: MATEMÁTICA
PROFESOR: CARLOS FLORES CARVAJAL
Proposiciones
Una proposición se considera una frase, a la  cual, se le puede asignar dos valores: 
o  bien  es  verdadera, o  bien es falsa, pero no ambas cosas. La verdad o falsedad 
de dicha proposición se le llama ​
su valor de verdad ​
. 
Algunas  proposiciones  se  pueden  componer  de  dos  o  varias  proposiciones 
simples,  a los  cuales,  les  llamaremos  ​
proposiciones  compuestas  ​
.  Esto  lo  
veremos más adelante. 
Comúnmente  se  suele  denotar  a  las  proposiciones  mediante  las letras:  ​
«  p,  q, r, 
s...etc. »  
A  continuación,  veremos  algunos  ejemplos  muy  simples,  de  manera  que  se 
comprenda que son las proposiciones en Lógica. 

p: 7 es un número par;
q: 2 + 2 = 4;
r: 2 es un número impar.Como  puedes  darte  cuenta,  las  proposiciones  tanto  p,  q  y  r,  tienen   valores  de 
verdad.  De manera que la proposición p, su valor de verdad será ​
Falso ​
, pues 7 no 
es un número par.  
Para  la  proposición  q,  su  valor  de  verdad  será  verdadero,  siempre  y  cuando 
estemos  hablando  de  el  sistema  decimal.  El  valor  de  verdad  para  r,  será  falso, pues 2 no es un número impar. 
   Ahora observemos este otro ejemplo: 
   ¿Cómo éstas? 
Observa  que  para  esta  expresión  no  es   posible  asignar  un  valor  de  verdad,  no 
podemos decir  que  es  falso,  o  bien,  verdadero.  De manera que no se  trata de una 
proposición. 
Bueno, dejemos éste ejemplo, y ahora veamos este otro: 
 ​
Pedro está enfermo o viejo. 
Esta  expresión  está  formada  implícitamente  por dos  proposiciones 
simples: ​
«Pedro está  enfermo» y la  otra proposición, ​
«Pedro es viejo»​
. Se trata de 
una  proposición  compuesta,  donde  su  valor  de  verdad,  está  determinado  por 
completo por  el  valor de verdad de cada uno de las proposiciones simples, y por el 
modo de como se les reúne para formar la proposición compuesta 

De  manera  que,  la  primera  proposición:  ​«Pedro  está  enfermo»​
,  le  podemos 
asignar  un  cierto  valor  de  verdad,  o  bien  es  verdadero,  o  bien  es  falso.  Para  la 
segunda  proposición:  ​
«Pedro  es  viejo»  ​
también  se  le  puede  asignar  su  valor  de 
verdad: falso o verdadero. 
La  manera  en  que  van  a  estar  unidas  ciertas  proposiciones  simples,  para   dar 
forma a proposiciones compuestas,  será determinado  rotundamente  por  el uso de 
conectivos. Estos los veremos en la sección siguiente. 
Conjunción
 ​
Anteriormente  vimos  que  la  unión  de  proposiciones  simples  dan  lugar  a  
proposiciones  compuestas.  El  primer  caso  que  veremos  de  proposiciones 
compuestas será la ​
conjunción ​
. 
Cuando  dos  proposiciones  simples  se  combinan  mediante  la  palabra  ​
«  y  »  ​
,  la proposición compuesta resultante se le llama ​
conjunción ​
.  
Para la conjunción usaremos el símbolo lógico ​
^​
. 

De  esta manera,  se  tiene  que la nueva proposición ​
p ^ q ​
se llama conjunción de « 
p y q ». 
Ahora,  el  valor  de  verdad,  para  la conjunción  de  dos  proposiciones cualesquiera, 
«p y q» será de la siguiente manera: 
p ^  q debe  ser verdadera,  si,  y  solamente si, tanto p, como q, son verdaderas. De 
manera  que,  si  al  menos, una de  las proposiciones simples es falsa, entonces,  el 
valor de verdad para ​
p ^ q ​
, es falso. 
Mas  adelante  revisaremos  esto  con  mayor  profundidad,  cuando  lleguemos  a  la 
sección de las «Tablas de Verdad». 
Por  ahora veamos un par de ejemplos sencillos  para  comprender  el estudio  de  la 
conjunción. 
1.­  Si  p  es la  proposición:  ​
«1  es  un número  impar» y q es  la  proposición:  ​
«3  es 
un número primo»​
, entonces p ^ q será la proposición: ​
«1 es un número impar y 
3  es  un  número  primo»​
.  En  donde  se  observa  que  p  ^ q su  valor  de  verdad es 
verdadero,  pues  tanto  p:  ​
«1  es  un  número  impar»​
,  como  q:  ​
«3  es  un  número 
primo»​
 ambos son verdaderos. ...