Propuesta de estrategias y dinamica en la enseñanza de productos notables

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Junio 2006, pp. 7-14

Aproximaciones de las raíces cuadradas

La generalización del uso escolar de las calculadoras ha ayudado a aumentar la confusión de nuestros alumnos entre los números irracionales y sus aproximaciones racionales. La perspectiva histórica y su explotación didáctica pueden ser de gran ayuda para superar estas dificultades. En este artículo se presentan dos métodos deaproximación radicalmente distintos en múltiples aspectos.

The generalization of the scholastic use of the computers has helped to increase this confusion between the irrational numbers and their rational approaches. The historical perspective and its didactic operation can be helpful to surpass these difficulties. In this article two radically different methods of approach are showed.

lnúmero π, por ejemplo. Pues yo no me había planteado nunca cómo... Sabes que es 3,14 pero no sabes de dónde viene. Figueiras (2002) La cita anterior –transcripción textual de una conversación con una alumna de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad Autónoma de Barcelona– nos permite comprobar cómo incluso entre los universitarios es habitual la identificación entre los númerosirracionales –en este caso π– y sus aproximaciones decimales –en este caso es 3,14. En este artículo presentaremos algunos ejemplos que permitan ver cómo, a lo largo de la historia, se ha tratado el problema de las aproximaciones racionales de los números irracionales. Con relación a este problema, estos elementos históricos pueden ayudar a los maestros y profesores en su esfuerzo por evitar lasfalsas creencias de los alumnos. De los distintos métodos utilizados a lo largo de la Historia de la Matemática para aproximar irracionales cuadráticos hemos elegido dos especialmente relevantes: las aproximaciones babilónicas, unas de las más antiguas que se conocen, y la caracterización de los irracionales cuadráticos mediante las fracciones continuas ordinarias periódicas, que dieron sus primerospasos con Bombelli y Cataldi, a caballo entre los siglos XVI y XVII. En ambos casos evitaremos caer en la ten-

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tación de sugerir caminos de aplicación directa de estos conocimientos en las aulas de Secundaria o Bachillerato. Sólo pretendemos dar elementos al profesorado que le ayuden en su quehacer cotidiano. Para proporcionar estos elementos nos basamos en referencias históricas, que nosayudan a comprender las dificultades conceptuales ligadas al desarrollo de las ideas, sin pretender inferir de estos datos explotaciones directas en el aula. El uso de las calculadoras ha hecho desaparecer de la enseñanza de la Matemática el algoritmo tradicional de calcular raíces cuadradas. Apresurémonos a felicitarnos por este hecho, pero no por algunas de sus consecuencias; la falta detratamiento del problema de las aproximaciones de un irracional puede reforzar todavía más las creencias de los estudiantes descritas al principio de esta introducción, que les lleva a la confusión entre un número irracional y sus aproximaciones.

Joan Miralles de Imperial Llobet
Universidad Pompeu Fabra. Barcelona

Jordi Deulofeu Piquet
Universidat Autónoma de Barcelona. Barcelona

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Puede trabajarse el concepto de aproximación racional de un irracional utilizando cualquier número irracional, puesto que el concepto es el mismo en todos los casos. Sin embargo, los irracionales cuadráticos permiten gran número de algoritmos de aproximación racional, lo que permite en estos casos determinar aproximaciones, compararlas entre sí y deducir conclusiones –en una palabra,manipular el concepto de aproximación– con mucha mayor facilidad que si tratáramos otros irracionales bien conocidos por nuestros alumnos, como podrían ser los números π o e.

la época de Hammurabi (1700 A.C.). Probablemente, estas operaciones nacieron de la necesidad de los cálculos trigonométricos relacionados con la elaboración de calendarios para prever los momentos óptimos de la siembra...
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