Protocolo ecuaciones d.homogeneas

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

Primero que todo, las ecuaciones diferenciales tienen una forma básica la cual es:
M (x.y) dx + N (x,y) dy = 0

Se dice que la ecuación es homogenea si M y Ntienen el mismo grado.
F (x,y)= xy + y2 entonces es homogénea.

HAY DOS MANERAS DE OBTENER EL GRADO EN UNA ECUACIÓN LAS CUALES SON:
1. Por inspección (tNx, tNy) = tN f(x,y)
2. Porsuma de exponentes por cada término.

Este es un ejemplo por inspección:
fx,y= x2y+4x3 +3x2
= t2x*ty+4t+3(tx)(t2y)
= t3x2y+4t3x3+3t3x3xy2 el termino “t” tiene elmismo grado
= t3(x2y+4x3+3xy2)
O sea quiere decir que la ecuación es de grado 3

Ahora daremos un ejemplo de suma de exponentes:
* Para este método hay que tener en cuenta laspropiedades de los exponentes.

Sea:
=y2yxdx+x2dy=0
Ahora sacamos el valor el M y N:
M(y2+yx)=segundo grado
N (x2)=segundo grado
Por lotanto es homogénea

Esto que hemos realizado anteriormente fue para determinar el grado de una ecuación así que ahora tocara ver el cambio en una ecuación diferencial.

Este metodohomogeneo requiere para el cambio o sustitucion de variables:

y=ux dy=udx+xdu
x=uy dx=udy+ydu
u=x+y y=u-x dy=du-dxAhora mostraremos un ejemplo de lo que son las ECUACIONES D.H

x-ydx+xdy=0

“Lo primero que debemos hacer es determinar si es homogénea o no”
Mx-y=primer grado
N(x)=primer grado
(Son de primergrado por lo tanto son homogéneas)

SOLUCION
x-uxdx+xudx+xdu=0
(Bueno aquí sustituimos el valor de y= udx como se puede observar. )
Luego se factoriza
x1-uxd+xudx-xdu=0
Dividimos entre X porque esun factor en ambos componentes
1-uxd+udx+xdu=0
Ahora resolvemos el producto del paréntesis
xd-udx+udx+xdu=0 Eliminamos los terminos iguales

Quedaría:
dx-xdu=0
ya tenemos nuestra...