Proyeccion Lineal

1. Definición de la programación lineal.
La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha funciónestén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
Es una técnica determinista, no incluye probabilidades y utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, la palabra programación no se refiere a programación encomputadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la PL trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo) entre todas las opciones de solución. Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, la PL tiene muchas otras posibilidades. De hecho, cualquierproblema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de PL es un problema de PL.

1.1. Historia de la programación lineal.
El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante lasegunda guerra mundial para planificar los gastos y retornos, a fin de reducir los costos al ejercito y aumentar las perdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. en la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.
Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publico el algoritmo simples, en 1947, John Von Neumann, que desarrollo la teoría de la dualidaden el mismo año, y Leonid Kantorovich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y gano un premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Loenid Khachiyan, demostro que el problema de la programación lineal era resoluble en tiempo polinomial. Mas tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolverproblemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principio teóricos y prácticos en el área.
El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejorasignación es inmensa; el numero de posibles configuraciones excede al numero de partículas en el universo. Sin embargo, toma solo un momento encontrar la solución optima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simples. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el numero de posibles soluciones optimas a ser revisadas.

1.2.Usos de la programación lineal
La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en eldesarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de...