ProyectoI3

PROYECTO MATEMATICA INTERMEDIA 3
EJERCICIO 1.
¿Cuánto tiempo tarda el agua en salir por el agujero en el fondo de un tanque? Considere el
tanque con
agujero de la figura No. 1, que se drena através de un pequeño agujero redondo. La ley de
Torricelli
establece que cuando la superficie del agua está a una altura h, el agua se drena con la
velocidad que tendría
si cayera de manera libredesde una altura h (ignorando varias formas de fricción).
a) Muestre que la ecuación diferencial de la gravedad estándar
desde una altura h aterrizará con una velocidad de

d2 h
dt2
dh
dt
d2 hdt2

dt2

=-g, Conduce a la conclusión de que un objeto que cae

2 gh .

g
vt
dv
dt
DSolve

g
v' t

vt

dh
dt

d2 h

g, v 0

0 ,v t ,t

gt

vt
DSolve

h' t

g

1ht

2H

t, h 0

H ,h t ,t

g t2

2
v2

1
Solve 0

2H
2

v

2

,v
g

g

H

,v

2

g

H

Debido a que es caida la velocidad es negativa.
V= -

2 gH

b) Sean elárea de la sección transversal del agua en el tanque a la altura h y a el área del agujero de drenado. La razón con
que el agua sale del tanque en el instante t se puede expresar como el área de lasección transversal a la altura h por la razón
de cambio de la altura del agua. En forma alternativa, la razón con la que el agua sale por el agujero se puede expresar como
el área del agujero por lavelocidad del agua drenada. Iguale estas expresiones e inserte la ley de Torricelli para deducir la
ecuación diferencial .
3

A(h)=Π( 5 h2 )

2

Proy.I3 (1).nb

DSolve A

h' t

a

2a2 g t2

2

2

ht

2 aA

g,h t ,t

g tC 1

A2 C 1

2

ht
4 A2

c) El tanque cónico de la Figura No. 1 tiene un radio de 30 cm cuando se llena hasta una profundidad inicial de 50cm. Un
pequeño agujero redondo en el fondo tiene un diámetro de 1 cm. Determine A(h) y a y luego resuelva la ecuación diferencial, con la ayuda de un SAC (Entre los programas que puede utilizar...